Кредиты в задании 16 ЕГЭ: равномерное погашение долга

О чём эта подтема

В задании 16 профильного ЕГЭ регулярно встречается сюжет про кредит, где долг уменьшается равномерно, то есть на одну и ту же сумму каждый месяц. Это отдельный, хорошо формализуемый тип задач — не путайте его с аннуитетными платежами (там платёж одинаковый каждый месяц, а не уменьшение долга).

Схема всегда одна: банк начисляет проценты на остаток долга, заёмщик вносит платёж, и после этого долг оказывается меньше предыдущего на фиксированную величину. Нужно найти либо процентную ставку, либо сумму кредита, либо конкретный платёж, либо сумму выплат за какой-то период.

Задача решается по чёткому алгоритму без перебора — если один раз разобраться с выводом формул, дальше это техническая работа с арифметической прогрессией.

Что нужно знать

Условные обозначения, которые стоит ввести сразу:

• $S$ — сумма кредита (долг в начале);
• $n$ — срок кредита в месяцах;
• $p$ — месячная процентная ставка в процентах, $r=\dfrac{p}{100}$ — та же ставка в долях;
• $X_k$ — платёж в конце $k$-го месяца, $k=1,2,\dots,n$.

Смысл условия «равномерно»: долг уменьшается на одну и ту же величину каждый месяц. Раз за $n$ месяцев долг уменьшается с $S$ до $0$, то каждый месяц он уменьшается на $$\frac{S}{n}.$$ Значит, долг перед началом $k$-го месяца (то есть после $k-1$ платежей) равен $$S_{k-1}=S\cdot\frac{n-k+1}{n},\qquad S_k=S\cdot\frac{n-k}{n}.$$

Механизм начисления и платежа в конце месяца: $$S_{k-1}(1+r)-X_k=S_k \quad\Rightarrow\quad X_k=S_{k-1}(1+r)-S_k.$$

Это единственная содержательная формула, которую нужно понимать «руками», всё остальное — алгебраические следствия из неё.

Ключевой факт, который резко упрощает решение: платежи $X_1, X_2,\dots,X_n$ образуют арифметическую прогрессию. Это стоит запомнить как готовый инструмент, а не выводить каждый раз заново.

Формула суммы всех выплат (переплата плюс сама сумма кредита) за весь срок: $$\sum_{k=1}^{n}X_k=S\left(1+\frac{r(n+1)}{2}\right).$$ Отсюда переплата (то, на сколько сумма выплат превышает сумму кредита) равна $$S\cdot\frac{r(n+1)}{2}.$$

Эту формулу можно как выводить на экзамене, так и держать в голове как контрольную точку — свериться с ответом, полученным через прогрессию.

Как решать: метод и алгоритм

Шаг 1. Выписать данные. Определить, что известно: сумма кредита $S$, срок $n$, ставка $p$ (или $r$), и что является неизвестным — обычно что-то одно из четырёх.

Шаг 2. Найти платёж $X_k$ через $k$. Подставим $S_{k-1}$ и $S_k$ в формулу $X_k=S_{k-1}(1+r)-S_k$: $$X_k=S\cdot\frac{n-k+1}{n}(1+r)-S\cdot\frac{n-k}{n}.$$ Раскроем скобки: $$X_k=\frac{S}{n}\Big[(n-k+1)(1+r)-(n-k)\Big]=\frac{S}{n}\Big[(n-k)r+(1+r)\Big]=\frac{S}{n}\Big[1+r(n-k+1)\Big].$$

Эта формула — рабочая лошадка всей темы. Из неё сразу видно, что $X_k$ линейно убывает с ростом $k$ (коэффициент при $k$ отрицательный), то есть это действительно арифметическая прогрессия.

Шаг 3. Найти крайние члены прогрессии.

• Первый платёж (самый большой, при $k=1$): $$X_1=\frac{S}{n}(1+rn).$$
• Последний платёж (самый маленький, при $k=n$): $$X_n=\frac{S}{n}(1+r).$$
• Разность прогрессии: $$d=X_{k+1}-X_k=-\frac{S\,r}{n}.$$

Шаг 4. Использовать формулу суммы арифметической прогрессии для нахождения суммы всех или части платежей: $$\sum_{k=1}^{m}X_k=\frac{X_1+X_m}{2}\cdot m,$$ где $m\le n$ — количество месяцев, за которые считаем сумму (это может быть весь срок или его часть, например первый год).

Шаг 5. Составить уравнение по условию задачи и решить его относительно неизвестной величины (ставки, суммы кредита или количества месяцев).

Важно: если в задаче нужна сумма выплат за весь срок, проще сразу применить готовую формулу $$\sum_{k=1}^n X_k=S\left(1+\frac{r(n+1)}{2}\right),$$ а если нужна сумма за часть срока (например, за первый год из двух лет кредита) — использовать формулу суммы первых $m$ членов прогрессии, потому что укороченная формула переплаты для целого срока тут не подходит напрямую.

Разбор примера

Пример 1. Антон взял кредит на срок 6 месяцев. Каждый месяц долг сначала увеличивается на одну и ту же месячную процентную ставку, потом уменьшается на выплаченную сумму, причём выплаты подобраны так, что долг уменьшается равномерно. Общая сумма выплат превысила сумму кредита на 63%. Найти месячную процентную ставку.

Решение.

Здесь $n=6$, сумма кредита $S$ неизвестна в числах, но она сократится, поэтому её можно не вводить численно. Неизвестна ставка $r$.

Переплата за весь срок равна по выведенной формуле: $$S\cdot\frac{r(n+1)}{2}.$$

По условию переплата составляет $63\%$ от суммы кредита $S$, то есть $$S\cdot\frac{r(n+1)}{2}=0{,}63\,S.$$

Сокращаем на $S$ (сумма кредита не равна нулю): $$\frac{r(n+1)}{2}=0{,}63.$$

Подставляем $n=6$: $$\frac{r\cdot 7}{2}=0{,}63 \quad\Rightarrow\quad r=\frac{0{,}63\cdot 2}{7}=\frac{1{,}26}{7}=0{,}18.$$

Переводим в проценты: $p=18\%$.

Проверка через смысл задачи. При $n=6$ и $r=0{,}18$ первый платёж $X_1=\dfrac{S}{6}(1+0{,}18\cdot 6)=\dfrac{S}{6}\cdot 2{,}08$, последний $X_6=\dfrac{S}{6}(1{,}18)$. Сумма всех платежей по прогрессии: $\dfrac{X_1+X_6}{2}\cdot 6=S\left(1+\dfrac{0{,}18\cdot7}{2}\right)=S\cdot 1{,}63$ — переплата действительно $63\%$. Ответ подтверждён двумя способами.

Ответ: 18.

Пример 2. Жанна взяла кредит $1{,}2$ млн рублей на 24 месяца. Ежемесячно долг увеличивается на $2\%$, затем уменьшается на платёж так, чтобы долг убывал равномерно. Найти сумму, которую Жанна выплатит за первый год (первые 12 месяцев).

Решение.

Здесь $S=1200$ (тыс. руб.), $n=24$, $r=0{,}02$. Нужно найти сумму первых $m=12$ платежей — это не весь срок, поэтому формулой полной переплаты пользоваться напрямую нельзя, работаем через прогрессию.

Платёж в конце $k$-го месяца: $$X_k=\frac{S}{n}\big[1+r(n-k+1)\big]=\frac{1200}{24}\big[1+0{,}02(25-k)\big]=50\big[1+0{,}02(25-k)\big].$$

Найдём первый и двенадцатый платежи (крайние члены нужного отрезка прогрессии): $$X_1=50\big[1+0{,}02\cdot 24\big]=50(1+0{,}48)=50\cdot 1{,}48=74,$$ $$X_{12}=50\big[1+0{,}02\cdot 13\big]=50(1+0{,}26)=50\cdot 1{,}26=63.$$

Сумма первых 12 платежей по формуле суммы арифметической прогрессии: $$\sum_{k=1}^{12}X_k=\frac{X_1+X_{12}}{2}\cdot 12=\frac{74+63}{2}\cdot 12=\frac{137}{2}\cdot 12=68{,}5\cdot 12=822.$$

Получили $822$ тыс. рублей.

Проверка через альтернативный вывод. Можно посчитать напрямую суммой: $$\sum_{k=1}^{12}X_k=\frac{S}{n}\left[12+r\sum_{k=1}^{12}(n-k+1)\right].$$ Выражение $n-k+1$ при $k=1,\dots,12$ и $n=24$ пробегает значения от $24$ до $13$, их сумма равна $\dfrac{(24+13)\cdot12}{2}=222$. Тогда $$\sum_{k=1}^{12}X_k=\frac{1200}{24}\big[12+0{,}02\cdot222\big]=50\big[12+4{,}44\big]=50\cdot16{,}44=822.$$

Оба способа дают одинаковый результат.

Ответ: 822 тысячи рублей.

Типичные ошибки

Путаница с типом платежей. Равномерное уменьшение долга — это не то же самое, что равные (аннуитетные) платежи. В равномерной схеме сам платёж каждый месяц разный (уменьшается), а долг — да, убывает равномерно. Перед решением обязательно проверьте по формулировке условия, о какой схеме речь: «сумма долга уменьшается равномерно» — это наша тема; «одинаковыми платежами» — другая формула.

Ошибка в направлении процесса. Важно понимать порядок операций внутри месяца: сначала долг увеличивается на проценты, потом уменьшается на платёж. Если перепутать порядок (сначала платёж, потом проценты), получится другая, неверная формула.

Забыть, что $S$ сокращается. В задачах, где спрашивают про ставку или про проценты переплаты, сумма кредита часто входит в обе части уравнения и благополучно сокращается. Не нужно искать её численное значение, если оно не задано — держите её как символ.

Применение формулы полной суммы к части срока. Формула $S\left(1+\dfrac{r(n+1)}{2}\right)$ работает только для суммы всех $n$ платежей. Если спрашивают про первые несколько месяцев или про конкретный интервал — нужно явно выписывать нужные члены прогрессии и применять формулу суммы части прогрессии, как в примере 2.

Ошибки в индексации. Легко перепутать, чему равен долг перед $k$-м месяцем: $S_{k-1}$, а не $S_k$. Рекомендуется всегда явно выписывать пару $(S_{k-1}, S_k)$ перед подстановкой в формулу платежа, чтобы не потерять единицу в индексе.

Забыть перевести проценты в доли. В формулах используется $r=p/100$, а не $p$. Подстановка $p=18$ вместо $r=0{,}18$ полностью меняет результат.

На что обратить внимание на экзамене

Перед решением чётко определите: что дано (срок, ставка, сумма кредита) и что требуется найти (ставка, сумма кредита, конкретный платёж, сумма за часть срока или переплата). От этого зависит, какую из выведенных формул применять напрямую, а какую — выводить заново через прогрессию.

Если задача просит сумму выплат за весь срок или переплату, быстрее всего использовать готовую формулу $S\left(1+\dfrac{r(n+1)}{2}\right)$ — она экономит время и снижает риск арифметической ошибки.

Если нужна сумма за часть срока (год из двух лет, полгода из года и т.п.), не пытайтесь подгонять общую формулу — выпишите явную формулу платежа $X_k$, найдите крайние члены нужного диапазона и примените формулу суммы арифметической прогрессии.

Всегда проверяйте ответ вторым способом: либо через прямое суммирование, либо через смысл (например, переплата не может быть отрицательной, ставка — разумным числом от долей процента до нескольких десятков процентов). Если ставка получилась, скажем, отрицательной или больше 100%, скорее всего где-то перепутан знак или порядок операций.

Держите под рукой стандартную структуру решения: формула платежа → крайние члены прогрессии → сумма через формулу арифметической прогрессии → уравнение из условия задачи. Эта последовательность подходит практически под любую вариацию условия в данной подтеме.