ГлавнаяЕГЭ Математика (профиль)Задание 16Кредиты

Задание 16 ЕГЭ, математика (профиль): Кредиты

ЕГЭ Математика (профиль)Задание 16Задачи о кредитах

Сергей взял кредит в банке на срок 9 месяцев. В конце каждого месяца общая сумма оставшегося долга увеличивается на 12%, а затем уменьшается на сумму, уплаченную Сергеем. Суммы, выплачиваемые в конце каждого месяца, подбираются так, чтобы в результате сумма долга каждый месяц уменьшалась равномерно, то есть на одну и ту же величину. Сколько процентов от суммы кредита составила сумма, уплаченная Сергеем банку сверх кредита?

В подтеме 186 задач
Разбор
Главная идея: Равномерное уменьшение долга означает равные ежемесячные платежи по основному долгу (S/9S/9), а переплата каждый месяц — это 12% от оставшейся на тот момент части основного долга; сумма этих процентов образует арифметическую прогрессию.

Пусть SS — сумма кредита. Условие «долг уменьшается равномерно» означает, что основная часть долга (без учёта процентов) выплачивается равными долями — по S/9S/9 каждый месяц. Тогда перед начислением процентов остаток основного долга в начале kk-го месяца равен S⋅9−k+19S\cdot\dfrac{9-k+1}{9}.

Проценты в конце каждого месяца начисляются на текущий остаток долга (12% от него), а переплата за месяц — это именно эта сумма процентов, так как основной долг гасится равными частями независимо от процентов.

Таким образом переплата по месяцам:

  1. 0,12S0{,}12S
  2. 0,12⋅89S0{,}12\cdot\dfrac{8}{9}S
  3. 0,12⋅79S0{,}12\cdot\dfrac{7}{9}S ...
  4. 0,12⋅19S0{,}12\cdot\dfrac{1}{9}S

Это арифметическая последовательность коэффициентов 99,89,…,19\dfrac{9}{9},\dfrac{8}{9},\dots,\dfrac{1}{9}, сумма которых равна 1+2+⋯+99=459=5\dfrac{1+2+\dots+9}{9}=\dfrac{45}{9}=5.

Суммарная переплата за 9 месяцев: 0,12S⋅5=0,6S.0{,}12S\cdot5=0{,}6S.

Отношение переплаты к сумме кредита: 0,6SS⋅100%=60%.\frac{0{,}6S}{S}\cdot100\%=60\%.

Значит, сверх суммы кредита Сергей заплатил 60% от неё.

Типичные ошибки

  • Ошибочно считают, что равномерно должна уменьшаться вся сумма выплат (включая проценты), а не только основной долг
  • Неправильно определяют базу для начисления процентов — берут исходную сумму SS каждый месяц вместо уменьшающегося остатка
  • Ошибки при суммировании арифметической прогрессии коэффициентов (неверно считают количество членов или знаменатель дроби)
Непонятно?

Похожие задачи