Задание 16 ЕГЭ, математика (профиль): Кредиты

Пусть $S$ — сумма кредита. По условию долг на 15-е число каждого месяца убывает на одну и ту же величину, значит на 15-е число месяца $k$ (при $k=0,\dots,18$) остаток равен $$S_k=S\cdot\frac{18-k}{18},\qquad S_0=S,\ S_{18}=0.$$

С 15-го числа до 1-го числа следующего месяца долг увеличивается на 2%, т.е. умножается на $1{,}02=\dfrac{51}{50}$. Значит перед началом выплат в месяце $k$ долг равен $$D_k=S_{k-1}\cdot\frac{51}{50}=S\cdot\frac{19-k}{18}\cdot\frac{51}{50}.$$

Выплата в этом месяце должна привести долг обратно к $S_k$, поэтому она равна разности $$P_k=D_k-S_k=S\left(\frac{19-k}{18}\cdot\frac{51}{50}-\frac{18-k}{18}\right).$$

Введём $n=19-k$ (при $k=1,\dots,18$ переменная $n$ пробегает те же значения $1,\dots,18$). Тогда $$P_k=\frac{S}{18}\left(\frac{51n}{50}-(n-1)\right)=\frac{S}{18}\left(\frac{n}{50}+1\right).$$

Общая сумма выплат за 18 месяцев: $$\sum_{n=1}^{18}P_k=\frac{S}{18}\left(\frac{1}{50}\sum_{n=1}^{18}n+18\right).$$

Сумма $1+2+\dots+18=\dfrac{18\cdot19}{2}=171$. Подставляем: $$\frac{S}{18}\left(\frac{171}{50}+18\right)=\frac{S}{18}\cdot\frac{171+900}{50}=\frac{S}{18}\cdot\frac{1071}{50}=\frac{1071}{900}S=1{,}19S.$$

Таким образом, общая сумма выплат составляет $1{,}19S$, то есть 119% от суммы кредита.