Задание 16 ЕГЭ, математика (профиль): Кредиты

Пусть $S=600$ тыс. руб. — сумма кредита. По условию долг на 15‑е число должен убывать равномерно до нуля.

Если срок $n$ месяцев, то остатки долга на 15‑е число: $S,\ \dfrac{(n-1)S}{n},\ \dfrac{(n-2)S}{n},\ \dots,\ \dfrac{S}{n},\ 0$.

Каждый месяц 1‑го числа долг увеличивается на 2%, поэтому перед очередной выплатой долг равен $1{,}02\cdot\dfrac{kS}{n}$, где $k$ — номер оставшегося «шага».

Выплата за месяц — это разница между долгом после начисления процентов и долгом, который должен остаться на следующее 15‑е число: $$\text{выплата}_k=1{,}02\cdot\frac{kS}{n}-\frac{(k-1)S}{n}=0{,}02\cdot\frac{kS}{n}+\frac{S}{n}.$$

Суммируя по всем $k$ от $n$ до $1$, получаем общую сумму выплат: $$\Sigma=S+0{,}02S\left(\frac{n}{n}+\frac{n-1}{n}+\dots+\frac{1}{n}\right)=S\left(1+\frac{0{,}02(n+1)}{2}\right).$$

Для $n=24$: $\Sigma_{24}=S\left(1+\dfrac{0{,}02\cdot25}{2}\right)=1{,}25S$.

Для $n=30$: $\Sigma_{30}=S\left(1+\dfrac{0{,}02\cdot31}{2}\right)=1{,}31S$.

Разница выплат: $$\Sigma_{30}-\Sigma_{24}=(1{,}31-1{,}25)S=0{,}06S=0{,}06\cdot600=36\ \text{тыс. руб.}=36\,000\ \text{руб.}$$