Задание 16 ЕГЭ, математика (профиль): Кредиты

Обозначим искомый долг на 15‑е число 25‑го месяца через $x$ (в тыс. руб.).

По условию с 15‑го числа 1‑го месяца до 15‑го числа 25‑го месяца долг убывает на одну и ту же величину $d$, а к 15‑му числу 26‑го месяца становится равным 0. Значит, долг на 15‑е число $k$‑го месяца задаётся линейной формулой $$a_k=\frac{(25-k)\cdot 600+kx}{25},\qquad a_0=600,\;a_{25}=x,$$ а общий месячный шаг уменьшения $d=a_{k-1}-a_k=\dfrac{600-x}{25}$.

1‑го числа каждого месяца долг увеличивается на 1 % относительно конца предыдущего месяца, т.е. перед оплатой он равен $b_k=1{,}01\,a_{k-1}$.

Платёж, вносимый со 2‑го по 14‑е число месяца $k$, — это разница между "наросшим" долгом и долгом после уменьшения: $$p_k=b_k-a_k=1{,}01a_{k-1}-a_k=0{,}01a_{k-1}+d.$$

Суммируя эти платежи за месяцы с 1‑го по 25‑й и добавляя итоговый платёж в 26‑м месяце $p_{26}=1{,}01x$ (полное погашение), получаем общую сумму выплат: $$S=0{,}01\sum_{k=0}^{24}a_k+25d+1{,}01x.$$

Подставив выражения для $a_k$ и $d$, после упрощения получаем $$S=0{,}13x+678.$$

По условию $S=691$, поэтому $$0{,}13x+678=691\Rightarrow 0{,}13x=13\Rightarrow x=100.$$

Таким образом, долг на 15‑е число 25‑го месяца составляет 100 тыс. рублей.