Задание 16 ЕГЭ, математика (профиль): Кредиты

Пусть $S=400$ тыс.руб. — сумма кредита, $k=1+\frac{3}{100}=1{,}03$ — коэффициент роста долга за месяц, $b=40$ тыс.руб. — сумма, на которую уменьшается долг на 15-е число каждого месяца (с 1 по n).

Долг перед первым погашением: после начисления процентов он равен $kS$. Выплата в первый месяц идёт на проценты и на уменьшение основного долга на $b$, поэтому она равна $a_1=(k-1)S+b=0{,}03\cdot400+40=52$ тыс.руб.

Перед вторым платежом долг был $S-b$, после начисления процентов $k(S-b)$, значит выплата $a_2=(k-1)(S-b)+b=0{,}03\cdot360+40=50{,}8$ тыс.руб.

Поскольку долг перед начислением процентов каждый месяц уменьшается на одно и то же $b$, разность между соседними выплатами постоянна: $d=a_2-a_1=50{,}8-52=-1{,}2$. Значит выплаты образуют арифметическую прогрессию с $a_1=52$ и $d=-1{,}2$, а $n$-й член равен $a_n=52-1{,}2(n-1)=53{,}2-1{,}2n$.

Сумма первых $n$ выплат по формуле арифметической прогрессии: $$S_n=\frac{a_1+a_n}{2}\cdot n=\frac{52+53{,}2-1{,}2n}{2}\cdot n=-0{,}6n^2+52{,}6n.$$

По условию $S_n=424{,}8$, отсюда $$-0{,}6n^2+52{,}6n=424{,}8 \iff 3n^2-263n+2124=0.$$ Решая квадратное уравнение, получаем $n=9$ или $n=\frac{236}{3}$ (не целое, не подходит по смыслу задачи).

Значит, $n=9$.