ГлавнаяЕГЭ Математика (профиль)Задание 16Кредиты

Задание 16 ЕГЭ, математика (профиль): Кредиты

ЕГЭ Математика (профиль)Задание 16Задачи о кредитах

15-го декабря планируется взять кредит в банке на 21 месяц. Условия возврата таковы:

—  1-⁠го числа каждого месяца долг возрастает на 3% по сравнению с концом предыдущего месяца;

—  со 2-⁠го по 14-⁠е число каждого месяца необходимо выплатить часть долга;

—  15-⁠го числа каждого месяца с 1-⁠го по 20-⁠й долг должен быть на 30 тысяч рублей меньше долга на 15-⁠е число предыдущего месяца;

—  к 15-⁠му числу 21-⁠го месяца кредит должен быть полностью погашен.

Какую сумму планируется взять в кредит, если общая сумма выплат после полного его погашения составит 1604 тысяч рублей?

В подтеме 186 задач
Разбор
Главная идея: Составить последовательность долгов на 15‑е число (арифметическая прогрессия с шагом 30), учесть рост на 3% к 1‑му числу, найти формулу для каждой месячной выплаты, просуммировать все выплаты и приравнять к заданной сумме.

Пусть AA — сумма кредита (в тыс. руб.). По условию долг на 15‑е число месяцев образует арифметическую убывающую последовательность с шагом 30: A, A−30, A−60,…,A−600, 0A,\ A-30,\ A-60,\dots,A-600,\ 0 — за первые 20 месяцев долг уменьшается на 30k30k (k=0,…,19), а на 21‑м месяце гасится полностью.

Между 15‑м и 1‑м числом долг растёт на 3%, поэтому долг на 1‑е число следующего месяца равен 1,03⋅(A−30k)1{,}03\cdot(A-30k).

Выплата за месяц — это разница между долгом на 1‑е число и долгом на 15‑е число следующего месяца: 1,03(A−30k)−(A−30(k+1))=0,03(A−30k)+30,k=0,…,19.1{,}03(A-30k)-(A-30(k+1))=0{,}03(A-30k)+30,\quad k=0,\dots,19. Для последнего, 21‑го месяца, долг гасится полностью: 1,03(A−600)−0=1,03(A−600).1{,}03(A-600)-0=1{,}03(A-600).

Суммируем 20 выплат первого типа — это сумма арифметической прогрессии: ∑k=019[0,03(A−30k)+30]=20⋅0,03⋅2A−5702+20⋅30.\sum_{k=0}^{19}\big[0{,}03(A-30k)+30\big]=20\cdot0{,}03\cdot\frac{2A-570}{2}+20\cdot30. К этому добавляем последнюю выплату 1,03(A−600)1{,}03(A-600). После упрощения общая сумма выплат равна 1,63A−189.1{,}63A-189.

По условию эта сумма равна 1604 тыс. руб.: 1,63A−189=1604 ⇒ 1,63A=1793 ⇒ A=1100.1{,}63A-189=1604\ \Rightarrow\ 1{,}63A=1793\ \Rightarrow\ A=1100.

Значит, сумма кредита составляет 1100 тыс. руб., то есть 1 100 000 рублей.

Типичные ошибки

  • Не учитывают, что 3% начисляются именно на долг после 15‑го числа, а не на исходную сумму кредита.
  • Ошибочно считают, что все 21 выплата одинаковы по структуре, забывая, что последняя выплата гасит долг полностью без прибавления 30 тыс.
  • Неверно суммируют арифметическую прогрессию (ошибка в количестве членов или в формуле суммы), что приводит к неправильному коэффициенту при AA.
Непонятно?

Похожие задачи