ГлавнаяЕГЭ Математика (профиль)Задание 16Кредиты

Задание 16 ЕГЭ, математика (профиль): Кредиты

ЕГЭ Математика (профиль)Задание 16Задачи о кредитах

15-го декабря планируется взять кредит в банке на сумму 700 тысяч рублей на (n + 1) месяц. Условия его возврата таковы:

—  1-го числа каждого месяца долг возрастает на 1% по сравнению с концом предыдущего месяца;

—  со 2-⁠го по 14-⁠е число каждого месяца необходимо выплатить часть долга;

—  15-⁠го числа каждого месяца с 1-⁠го по n-⁠й долг должен быть на одну и ту же сумму меньше долга на 15-⁠е число предыдущего месяца;

—  15-⁠го числа n-го месяца долг составит 300 тысяч рублей;

—  к 15-⁠му числу левая круглая скобка n плюс 1 правая круглая скобка -⁠го месяца кредит должен быть полностью погашен.

Найдите n, если известно, что общая сумма выплат после полного погашения кредита составит 755 тысяч рублей.

В подтеме 186 задач
Разбор
Главная идея: Платежи по уменьшающемуся долгу образуют арифметическую прогрессию; сумма первых n платежей плюс финальный платёж должны дать общую сумму выплат — из этого уравнения находится n.

Пусть за n месяцев долг равномерно уменьшается с 700 до 300 тыс. руб., то есть каждый месяц на x=400nx=\dfrac{400}{n} тыс. руб. (это следует из условия про равные уменьшения долга к 15‑му числу).

Процент начисляется 1‑го числа: долг на начало месяца умножается на 1,011{,}01. Со 2 по 14 число вносится платёж, после которого долг на 15‑е число становится на xx меньше, чем было на 15‑е предыдущего месяца.

Платёж k‑го месяца (k=1,…,nk=1,\dots ,n) равен разнице между долгом после начисления процентов и новым (уменьшенным) долгом. Эти платежи образуют арифметическую прогрессию, так как каждый следующий долг на xx меньше предыдущего:

  • 1‑й платёж: 700⋅1,01−(700−x)=7+x700\cdot1{,}01-(700-x)=7+x;
  • n‑й платёж: (300+x)⋅1,01−300=3+1,01x(300+x)\cdot1{,}01-300=3+1{,}01x.

Сумма арифметической прогрессии из n членов: Sn=(7+x)+(3+1,01x)2⋅n=(5+1,005x)⋅n.S_n=\frac{(7+x)+(3+1{,}01x)}{2}\cdot n=(5+1{,}005x)\cdot n.

В (n+1)-й месяц долг полностью гасится: платёж равен 300⋅1,01=303300\cdot1{,}01=303 тыс. руб.

Общая сумма всех выплат — 755 тыс. руб., значит сумма платежей за первые n месяцев: Sn=755−303=452.S_n=755-303=452.

Подставляя x=400nx=\dfrac{400}{n}: (5+1,005⋅400n)n=452  ⟹  5n+402=452  ⟹  n=10.\left(5+1{,}005\cdot\frac{400}{n}\right)n=452 \;\Longrightarrow\; 5n+402=452 \;\Longrightarrow\; n=10.

Таким образом, срок выплат по уменьшающейся схеме составляет 10 месяцев.

Типичные ошибки

  • Неправильно определяют первый и последний член прогрессии платежей (путают долг до и после начисления процентов).
  • Забывают вычесть последний платёж (n+1)-го месяца при нахождении суммы первых n платежей.
  • Ошибочно считают, что x — это сумма ежемесячного платежа, а не величина уменьшения долга к 15-му числу.
Непонятно?

Похожие задачи