Задание 16 ЕГЭ, математика (профиль): Кредиты

По условию долг на 15-е число должен равномерно уменьшаться от 300 тыс. до 100 тыс. за первые 20 месяцев, то есть каждый месяц долг на 15-е число падает на одно и то же число $d$: $20d = 300-100=200 \Rightarrow d=10$. Получаем последовательность долгов на 15-е число: $300, 290, 280,\dots ,110, 100$ (20 значений), а на 15-е число 21-го месяца долг равен 0.

С 1-го числа каждого месяца долг увеличивается на 2%: если на 15-е число предыдущего месяца долг был $S$, то на 1-е число текущего месяца он становится $1{,}02S$. Значит, долги на 1-е число последовательных месяцев: $306;\;295{,}8;\;285{,}6;\dots ;112{,}2;\;102$ (получены умножением каждого из чисел 300, 290, ..., 100 на 1,02).

Выплата в каждом месяце — это разница между долгом на 1-е число (после начисления процентов) и долгом на 15-е число (после платежа): $\text{платёж}=1{,}02\cdot S_{\text{пред}} - S_{\text{тек}}$. Так, первые 20 платежей: $16;\,15{,}8;\,15{,}6;\dots ;12{,}2$ — это арифметическая прогрессия с $a_1=16$, $a_{20}=12{,}2$, шаг $-0{,}2$.

Последний, 21‑й платёж соответствует полному погашению остатка: $102-0=102$ тыс. руб.

Сумма арифметической прогрессии из 20 членов: $$S=\frac{a_1+a_{20}}{2}\cdot 20=\frac{16+12{,}2}{2}\cdot 20=14{,}1\cdot20=282.$$

Общая сумма всех выплат: $$282+102=384\text{ (тыс. руб.)}.$$