ГлавнаяЕГЭ Математика (профиль)Задание 16Кредиты

Задание 16 ЕГЭ, математика (профиль): Кредиты

ЕГЭ Математика (профиль)Задание 16Задачи о кредитах

15-го декабря планируется взять кредит в банке на 1 000 000 рублей на (n + 1) месяц. Условия его возврата таковы:

—  1-го числа каждого месяца долг возрастает на r % по сравнению с концом предыдущего месяца;

—  cо 2-⁠го по 14-⁠е число каждого месяца необходимо выплатить часть долга;

—  15-го числа каждого месяца с 1-⁠го по n-⁠й долг должен быть на 40 тысяч рублей меньше долга на 15-⁠е число предыдущего месяца;

—  15-⁠го числа n-го месяца долг составит 200 тысяч рублей;

—  к 15-⁠му числу (n + 1)-⁠го месяца кредит должен быть полностью погашен.

Найдите r, если известно, что общая сумма выплат после полного погашения кредита составит 1378 тысяч рублей.

В подтеме 186 задач
Разбор
Главная идея: Долг по 15-м числам образует арифметическую прогрессию, а выплата за месяц равна разности между долгом после начисления процентов (умножение на k=1+r/100k=1+r/100) и долгом на конец месяца; суммируя все выплаты и приравнивая их к заданной сумме, находим kk, а затем rr.

Долг на 15-е число месяца убывает равномерно (арифметическая прогрессия с шагом 40 тыс.): 1000,960,920,…,240,2001000,960,920,\dots,240,200 (тыс. руб.), а на (n+1)(n+1)-й месяц долг гасится полностью. Число шагов до 200: n=1000−20040=20.n=\frac{1000-200}{40}=20.

Обозначим DiD_i — долг на 15‑е число ii-го месяца, D0=1000D_0=1000, Di=Di−1−40D_i=D_{i-1}-40 для i=1,…,20i=1,\dots,20. Первого числа долг увеличивается на r%r\%, то есть умножается на k=1+r100k=1+\dfrac{r}{100}. Значит, долг на 1‑е число месяца ii равен Di−1kD_{i-1}k, а выплата в этом месяце (разница между долгом на 1‑е и на 15‑е число) равна Di−1k−Di=Di−1k−(Di−1−40)=Di−1(k−1)+40.D_{i-1}k-D_i=D_{i-1}k-(D_{i-1}-40)=D_{i-1}(k-1)+40.

Суммируем эти выплаты за i=1,…,20i=1,\dots,20. Сумма Di−1D_{i-1} — это сумма арифметической прогрессии от 1000 до 240 с 20 членами: ∑Di−1=20(1000+240)2=12400.\sum D_{i-1}=\frac{20(1000+240)}{2}=12400. Тогда суммарная выплата за первые 20 месяцев: (k−1)⋅12400+40⋅20=(k−1)⋅12400+800.(k-1)\cdot 12400+40\cdot 20=(k-1)\cdot 12400+800.

В последний, (n+1)(n+1)-й месяц долг на 1‑е число равен 200k200k, и он полностью гасится к 15‑му числу, значит выплата равна 200k200k.

Итоговая сумма всех выплат: (k−1)⋅12400+800+200k=12400k−12400+800+200k=12600k−11600.(k-1)\cdot 12400+800+200k=12400k-12400+800+200k=12600k-11600.

По условию эта сумма равна 1378 тыс. руб.: 12600k−11600=1378  ⇒  12600k=12978  ⇒  k=1,03.12600k-11600=1378 \;\Rightarrow\; 12600k=12978 \;\Rightarrow\; k=1{,}03.

Так как k=1+r100k=1+\dfrac{r}{100}, получаем r=3r=3.

Типичные ошибки

  • Неправильно определяют число месяцев nn (путают количество шагов уменьшения долга на 40 тыс. с числом всех платежей, включая последний)
  • Забывают, что последний, (n+1)(n+1)-й платёж отличается от остальных — это не D(k−1)+40D(k-1)+40, а полное погашение остатка 200k200k
  • Ошибки при вычислении суммы арифметической прогрессии долгов (неправильно берут первый или последний член суммы)
Непонятно?

Похожие задачи