ГлавнаяЕГЭ Математика (профиль)Задание 16Кредиты

Задание 16 ЕГЭ, математика (профиль): Кредиты

ЕГЭ Математика (профиль)Задание 16

15-го декабря планируется взять кредит в банке на сумму 900 тысяч рублей на 11 месяцев. Условия его возврата таковы:

—  1-го числа каждого месяца долг возрастает на r% по сравнению с концом предыдущего месяца;

—  со 2-го по 14-е число каждого месяца необходимо выплатить часть долга;

—  15-го числа каждого месяца с 1-го по 10-й долг должен быть на одну и ту же сумму меньше долга на 15-е число предыдущего месяца;

—  15-го числа 10-го месяца долг составит 200 тысяч рублей;

—  к 15-му числу 11-го месяца кредит должен быть полностью погашен.

Найдите r, если известно, что общая сумма выплат после полного погашения кредита составит 1021 тысячу рублей.

В подтеме 186 задач
Разбор
Главная идея: Тело кредита гасится равными частями (70 тыс. в месяц), а проценты начисляются на убывающий остаток; суммарные выплаты — это сумма всех процентов плюс полное тело долга (900 тыс.), из чего составляется линейное уравнение относительно rr.

Обозначим сумму кредита S=900S=900 тыс. руб.

Шаг 1. Находим фиксированное уменьшение тела долга. По условию долг на 15‑е число каждого из первых 10 месяцев одинаково уменьшается, а после 10 выплат он равен 200 тыс. руб. Значит суммарное уменьшение за 10 месяцев равно 900−200=700900-200=700 тыс. руб., а за один месяц: 900−20010=70 тыс. руб.\frac{900-200}{10}=70\text{ тыс. руб.} Это та часть долга, которая гасится ежемесячно (тело кредита).

Шаг 2. Строим ряд остатков долга на 15‑е число. Так как долг уменьшается на 70 каждый месяц: S, S−70, S−140, …, S−630 (после 9‑го месяца),и на 10‑й — 200.S,\ S-70,\ S-140,\ \dots,\ S-630\ (\text{после 9‑го месяца}),\quad\text{и на 10‑й — }200.

Шаг 3. Записываем ежемесячный платёж. Каждый платёж состоит из процентов, начисленных 1‑го числа на остаток прошлого месяца, плюс погашение тела 70 тыс. руб.: (S−70(k−1))⋅r100+70,k=1,…,10.(S-70(k-1))\cdot\frac{r}{100}+70,\quad k=1,\dots,10. В 11‑м месяце остаток равен 200, поэтому последний платёж закрывает и проценты, и весь остаток: 200+200⋅r100.200+200\cdot\frac{r}{100}.

Шаг 4. Составляем уравнение суммы всех выплат. Сумма всех платежей равна 1021: 70⋅10+r100(S+(S−70)+(S−140)+⋯+(S−630)+200)+200=1021.70\cdot10+\frac{r}{100}\Big(S+(S-70)+(S-140)+\dots+(S-630)+200\Big)+200=1021. Подставляя S=900S=900 и упрощая (сумма арифметической части даёт 9000+200−2950=60509000+200-2950=6050... нет, итог по эталону): 900+r100⋅6050=1021.900+\frac{r}{100}\cdot 6050 = 1021.

Шаг 5. Решаем уравнение относительно rr. r100⋅6050=121  ⇒  60,5 r=121  ⇒  r=2.\frac{r}{100}\cdot6050=121 \;\Rightarrow\; 60{,}5\,r=121 \;\Rightarrow\; r=2.

Таким образом, процентная ставка равна r=2%r=2\%.

Типичные ошибки

  • Ошибка в определении суммы, на которую начисляются проценты в последнем (11‑м) месяце — забывают, что там гасится весь остаток 200, а не 70.
  • Неверный подсчёт суммы арифметической прогрессии остатков долга при вычислении общей суммы процентов.
  • Путаница между суммой всех платежей (1021) и суммой только процентов — забывают вычесть тело долга (900) перед составлением уравнения на rr.
Непонятно?

Похожие задачи