ГлавнаяЕГЭ Математика (профиль)Задание 16Кредиты

Задание 16 ЕГЭ, математика (профиль): Кредиты

ЕГЭ Математика (профиль)Задание 16Задачи о кредитах

15-го декабря планируется взять кредит в банке на 700 тысяч рублей на (n + 1) месяц. Условия его возврата таковы:

—  1-⁠го числа каждого месяца долг возрастает на 1% по сравнению с концом предыдущего месяца;

—  cо 2-⁠го по 14-⁠е число каждого месяца необходимо выплатить часть долга;

—  15-⁠го числа каждого месяца с 1-го по n-⁠й долг должен быть на одну и ту же сумму меньше долга на 15-⁠е число предыдущего месяца;

—  15-⁠го числа n-⁠го месяца долг составит 300 тысяч рублей;

—  к 15-⁠му числу (n + 1)-⁠го месяца кредит должен быть полностью погашен.

Найдите n, если известно, что общая сумма выплат после полного погашения кредита составит 755 тысяч рублей.

В подтеме 186 задач
Разбор
Главная идея: Долг убывает по арифметической прогрессии, поэтому сумма всех выплат раскладывается на сумму «телесных» платежей и сумму процентов, которая считается через формулу суммы арифметической прогрессии, а последний платёж закрывает остаток долга с процентами.

Обозначим тело кредита S=700S=700 (тыс. руб.), ежемесячное уменьшение долга на 15-е число — xx (тыс. руб.), r=0,01r=0{,}01 — месячная ставка.

Шаг 1. Долг на 15-е число mm-го месяца равен S−xmS-xm — это арифметическая прогрессия, так как ежемесячно долг уменьшается на одну и ту же сумму xx. По условию на 15-е число nn-го месяца долг равен 300, значит S−xn=300S-xn=300, откуда xn=S−300=400xn=S-300=400.

Шаг 2. Полная сумма выплат складывается из:

  • суммы всех «телесных» частей долга, выплаченных за nn месяцев — это xnxn;
  • процентов, которые начисляются 1-го числа каждого месяца на остаток долга перед его уменьшением: ∑k=0n−1r(S−xk)\sum_{k=0}^{n-1} r(S-xk);
  • последнего платежа (в (n+1)(n+1)-й месяц), который закрывает весь оставшийся долг с процентами: (S−xn)(1+r)(S-xn)(1+r).

Шаг 3. Сумма процентов считается по формуле арифметической прогрессии: ∑k=0n−1(S−xk)=nS−xn(n−1)2.\sum_{k=0}^{n-1}(S-xk)=nS-x\frac{n(n-1)}{2}. Умножая на rr, получаем rnS−rxn(n−1)2rnS-\dfrac{r x n(n-1)}{2}.

Шаг 4. Итоговое уравнение: xn+rnS−rxn(n−1)2+(S−xn)(1+r)=755.xn+rnS-\frac{rxn(n-1)}{2}+(S-xn)(1+r)=755. Подставляя S=700S=700, r=0,01r=0{,}01, xn=400xn=400: 400+7n−0,005⋅400(n−1)+303=755,400+7n-0{,}005\cdot400(n-1)+303=755, так как rnS=7nrnS=7n, (S−xn)(1+r)=300⋅1,01=303(S-xn)(1+r)=300\cdot1{,}01=303.

Шаг 5. Упрощаем: 400+303=703400+303=703, а −0,005⋅400(n−1)=−2(n−1)=−2n+2-0{,}005\cdot400(n-1)=-2(n-1)=-2n+2. Получаем 705+5n=755  ⇒  5n=50  ⇒  n=10.705+5n=755\;\Rightarrow\;5n=50\;\Rightarrow\;n=10.

Типичные ошибки

  • Не учитывают, что проценты начисляются на остаток долга до его уменьшения, а не после.
  • Забывают, что последний платёж включает не только остаток долга, но и проценты на него: (S−xn)(1+r)(S-xn)(1+r).
  • Ошибаются в применении формулы суммы арифметической прогрессии при подсчёте суммарных процентов.
Непонятно?

Похожие задачи