Задание 16 ЕГЭ: вклады, кредиты и финансовая математика

Что проверяет задание

Задание 16 проверяет умение работать с реальными финансовыми процессами: ростом вклада по сложным процентам, изменением суммы при пополнениях и снятиях, погашением кредита. По сути это задача на проценты, но растянутая во времени — нужно аккуратно отслеживать, как сумма на счёте меняется от года к году под действием двух факторов: начисления процентов и вмешательства человека (снятие, довнесение, платёж).

Главная проверяемая компетенция — умение построить цепочку вычислений шаг за шагом, не перепутав порядок событий (сначала начисление процентов или сначала операция со счётом).

Как выглядит формулировка и сколько баллов

Типовые формулировки:

• «Вклад под $r\%$ годовых, через год сняли/внесли сумму, найдите итоговый результат»;
• «Кредит на $n$ лет под $r\%$, платежи вносятся равными долями/аннуитетом — найти сумму переплаты или размер платежа»;
• «Два вкладчика действовали по-разному — кто получит больше и на сколько»;
• «При каком банке (ставке, схеме) выгоднее взять кредит/открыть вклад».

Задание оценивается в 2 первичных балла. Ответ — число (обычно целое, в рублях). Требуется полное решение с обоснованием, частичное решение может принести 1 балл при верной идее, но ошибке в расчётах.

Что нужно знать

• Формула сложных процентов за $n$ лет без операций: $S_n = S_0\left(1+\dfrac{r}{100}\right)^n$.
• Начисление процентов за один год: $S_{k+1} = S_k\left(1+\dfrac{r}{100}\right)$, где $S_k$ — сумма на начало года.
• Если после начисления процентов происходит снятие суммы $A$: $S_{k+1} = S_k\left(1+\dfrac{r}{100}\right) - A$.
• Если после начисления процентов происходит довнесение суммы $A$: $S_{k+1} = S_k\left(1+\dfrac{r}{100}\right) + A$.
• Если снимается процент $p\%$ от текущей суммы: $S_{k+1} = S_k\left(1+\dfrac{r}{100}\right)\left(1-\dfrac{p}{100}\right)$.
• Аннуитетный платёж (равные платежи весь срок) при кредите $S_0$ на $n$ лет под $r\%$: $X = S_0 \cdot \dfrac{q^n(q-1)}{q^n-1}$, где $q = 1+\dfrac{r}{100}$.
• Дифференцированный платёж: основной долг делится на $n$ равных частей $\dfrac{S_0}{n}$, а проценты каждый год начисляются на остаток долга.
• Общая переплата по кредиту = сумма всех платежей минус тело кредита $S_0$.
• При сравнении вариантов («кто выгоднее») удобно вычислять разницу итоговых сумм, а не каждую сумму по отдельности — часто общий множитель $S_0$ сокращается.

Методы решения

1. Метод последовательного пересчёта баланса (вклады с операциями). Строится цепочка равенств $S_1, S_2, S_3$, где на каждом шаге сначала применяется множитель $(1+r/100)$, потом добавляется/вычитается операция. Мини-пример: вклад 10000 руб. под 10% годовых, через год сняли 1000 руб. Тогда $S_1 = 10000\cdot1{,}1 - 1000 = 10000$ руб.

2. Метод сравнения через разность (когда начальная сумма не задана). Если требуется сравнить два сценария с одинаковой начальной суммой $S_0$, удобно расписать обе формулы символьно и вычесть одну из другой — $S_0$ обычно сокращается. Мини-пример: если один вклад растёт как $S_0 q^2$, а второй как $S_0 q^2 - c$, разница сразу равна $c$ без знания $S_0$.

3. Метод аннуитетной формулы (кредиты с равным платежом). Применяется формула $X = S_0 \cdot \dfrac{q^n(q-1)}{q^n-1}$. Мини-пример: кредит 100000 руб. на 2 года под 10%, тогда $q=1{,}1$, $X = 100000\cdot\dfrac{1{,}21\cdot 0{,}1}{0{,}21}\approx 57619$ руб. в год.

4. Метод дифференцированных платежей (по остатку долга). Каждый год гасится равная доля тела долга $S_0/n$, а проценты считаются на оставшуюся сумму долга на начало года. Мини-пример: кредит 30000 руб. на 3 года под 10%, тело долга гасится по 10000 руб. в год; проценты первого года — $30000\cdot0{,}1=3000$, платёж первого года $=13000$ руб.

5. Метод оптимального выбора (сравнение эффективных условий). Сравниваются итоговые суммы или переплаты для нескольких вариантов (разные ставки, разные схемы начисления, разные банки), и выбирается минимальная переплата или максимальный доход. Мини-пример: вклад под 8% с ежегодной капитализацией за 2 года даст $S_0\cdot1{,}08^2\approx1{,}1664 S_0$, что нужно сравнить с альтернативой (например, 16% простых за 2 года — $1{,}16 S_0$) — капитализация выгоднее.

Алгоритм решения по шагам

1. Определить, что известно: начальная сумма (или её отсутствие), ставка, сроки, порядок операций (что происходит раньше — начисление процентов или снятие/внесение).
2. Ввести переменную для начальной суммы, если она не задана явно (часто буквой $S_0$).
3. Построчно, год за годом, записать формулу для суммы на счёте: сначала применить коэффициент $(1+r/100)$, затем учесть операцию (снятие, внесение, платёж).
4. Если задача сравнительная — построить обе цепочки символьно и вычесть их, чтобы избавиться от общих слагаемых или множителей.
5. Подставить числовые значения и последовательно вычислить итоговую сумму (или разницу сумм).
6. Проверить знак ответа — соответствует ли направление разницы условию задачи (кто больше, на сколько меньше и т.д.).
7. Округлить ответ до требуемой точности (обычно до целого рубля) и сверить с условием задачи (единицы измерения, формулировка вопроса).

Разбор примеров

Пример 1. Вклад под 10% годовых. Через год после начисления процентов сняли 2000 руб., ещё через год после начисления снова внесли 2000 руб. Через три года получили сумму меньше запланированной. На сколько меньше?

Пусть $S_0$ — начальный вклад, $q = 1{,}1$.

Запланированная сумма (без операций) за 3 года: $$S_{план} = S_0 q^3.$$

Реальная сумма с операциями:

• год 1: $S_1 = S_0 q - 2000$;
• год 2: $S_2 = S_1 q + 2000 = (S_0 q - 2000)q + 2000 = S_0 q^2 - 2000q + 2000$;
• год 3: $S_3 = S_2 q = S_0 q^3 - 2000q^2 + 2000q$.

Разница: $$S_{план} - S_3 = S_0q^3 - (S_0q^3 - 2000q^2+2000q) = 2000q^2 - 2000q = 2000q(q-1).$$

Подставляем $q=1{,}1$: $$2000\cdot1{,}1\cdot0{,}1 = 220.$$

Начальная сумма $S_0$ сократилась — ответ не зависит от неё. Вкладчик получил на 220 рублей меньше.

Пример 2. Миша и Маша положили одинаковую сумму $S_0$ под 10%. Миша: через год снял 5000, ещё через год внёс 5000. Маша: через год внесла 5000, ещё через год сняла 5000. Кто получит больше через 3 года и на сколько?

Миша, $q=1{,}1$:

• $M_1 = S_0q - 5000$;
• $M_2 = M_1q + 5000 = S_0q^2 - 5000q + 5000$;
• $M_3 = M_2q = S_0q^3 - 5000q^2 + 5000q$.

Маша:

• $D_1 = S_0q + 5000$;
• $D_2 = D_1q - 5000 = S_0q^2 + 5000q - 5000$;
• $D_3 = D_2q = S_0q^3 + 5000q^2 - 5000q$.

Разница (Маша минус Миша): $$D_3 - M_3 = 2\cdot5000q^2 - 2\cdot5000q = 10000q(q-1) = 10000\cdot1{,}1\cdot0{,}1 = 1100.$$

Маша получит больше — на 1100 рублей. Смысл: довнесение денег до второго начисления процентов «работает» дольше, чем снятие, поэтому схема Маши выгоднее.

Пример 3. Саша и Паша положили по 50 000 руб. на 3 года под 10%. Через год Саша снял 10% от имеющихся денег, Паша — 20%. Ещё через год Саша снял 20 000 руб., Паша — 15 000 руб. У кого больше денег к концу третьего года и на сколько?

Саша:

• год 1: $50000\cdot1{,}1 = 55000$; снял 10% → остаток $55000\cdot0{,}9 = 49500$;
• год 2: $49500\cdot1{,}1 = 54450$; снял 20000 → $54450-20000=34450$;
• год 3: $34450\cdot1{,}1 = 37895$.

Паша:

• год 1: $50000\cdot1{,}1=55000$; снял 20% → остаток $55000\cdot0{,}8=44000$;
• год 2: $44000\cdot1{,}1=48400$; снял 15000 → $48400-15000=33400$;
• год 3: $33400\cdot1{,}1=36740$.

Разница: $37895-36740 = 1155$.

У Саши больше — на 1155 рублей. Здесь начальная сумма конкретна, поэтому расчёт идёт напрямую по шагам, без сокращения символов.

Типичные ошибки и ловушки

• Перепутан порядок операций: снятие/внесение до начисления процентов вместо после (или наоборот) — из-за этого меняется вся цепочка расчётов.
• Процент от суммы («снял 10% денег») спутан с фиксированной суммой («снял 10000 рублей») — это принципиально разные операции.
• Забыто, что при сравнении двух сценариев с одинаковой начальной суммой её можно не находить явно — трата времени на нахождение $S_0$, хотя она сокращается.
• Ошибка в направлении разности: посчитано «Миша минус Маша» вместо «Маша минус Миша», из-за чего теряется знак и путается ответ на вопрос «кто больше».
• Неверная формула аннуитета — перепутаны местами $q^n(q-1)$ и $q^n-1$ в числителе и знаменателе.
• Округление на промежуточных шагах вместо округления только в конце — накапливается погрешность.
• Невнимательность к формулировке вопроса: спрашивают «на сколько меньше запланированного», а не саму итоговую сумму — важно вычислить именно разницу.

Как готовиться

Отработайте типовые сценарии вкладов (только начисление процентов, начисление плюс снятие, начисление плюс довнесение, снятие процента от суммы) — прогоните каждый на конкретных числах, чтобы автоматически видеть порядок действий. Отдельно разберите обе схемы кредитов — аннуитетную и дифференцированную, — и научитесь быстро определять, какая схема выгоднее банку, а какая заёмщику. Для сравнительных задач тренируйтесь сразу записывать обе цепочки символьно и вычитать их — это экономит время и снижает число арифметических ошибок. Решайте не только вклады, но и задачи на оптимальный выбор (сравнение процентных ставок, сроков, схем платежей), поскольку они регулярно встречаются в вариантах. Проверяйте каждый решённый пример: подставьте ответ обратно в условие и убедитесь, что знак и порядок величин соответствуют здравому смыслу (проценты не должны «съедать» больше, чем есть на счёте, и т.п.).