Задание 16 ЕГЭ: вклады и сложные проценты — разбор и алгоритм

О чём эта подтема

Задачи на вклады — один из самых предсказуемых видов задания 16. В условии описывается банковский вклад с фиксированной процентной ставкой, проценты начисляются раз в год (сложные проценты), а вкладчик в какой-то момент снимает часть денег или, наоборот, докладывает. Требуется найти итоговую сумму, сравнить два сценария или вычислить разницу между «плановой» суммой (без операций) и «фактической» (с операциями).

Главная сложность не в арифметике, а в правильном понимании порядка событий: когда именно начисляются проценты и когда происходит операция со счётом — до начисления или после. Если этот момент понят верно, задача сводится к последовательному умножению на коэффициент и сложению/вычитанию известных сумм.

Что нужно знать

Формула сложных процентов. Если вклад составляет $S_0$ рублей, а годовая ставка равна $p\%$, то через $n$ лет без каких-либо операций сумма на счёте будет $$S_n = S_0\left(1+\frac{p}{100}\right)^n.$$ Удобно обозначить коэффициент роста за год как $k = 1+\dfrac{p}{100}$, тогда $S_n = S_0 k^n$.

Порядок событий важен. В условии почти всегда есть фраза вида «через год, после начисления процентов, вкладчик снял...». Это значит, что сначала происходит умножение остатка на $k$, а только потом — вычитание или добавление суммы операции. Перепутать порядок — источник почти всех ошибок в этой подтеме.

Модель «шаг за шагом». Баланс на счёте меняется по годам так: $$S_{t} = S_{t-1}\cdot k \pm X_t,$$ где $X_t$ — сумма операции (снятия или пополнения) в конце года $t$, знак «$-$» для снятия, «$+$» для пополнения. Если операций в этот год не было, просто $S_t = S_{t-1}\cdot k$.

Свойство линейности и сокращение $S_0$. Если требуется сравнить два сценария с одинаковым начальным вкладом и одинаковой ставкой (плановый и фактический, либо два разных вкладчика), итоговое выражение для каждого сценария можно записать как $$S_0\cdot k^n + (\text{сумма слагаемых от операций}).$$ При вычитании двух таких выражений член $S_0 k^n$ уничтожается, и ответ (разница сумм) вообще не зависит от размера первоначального вклада. Это ключевое наблюдение, которое сильно упрощает такие задачи — не нужно знать $S_0$, чтобы найти разницу.

Вклад денежного потока во времени. Сумма $X$, снятая или добавленная в конце года $t$ (после начисления), участвует в дальнейшем начислении процентов оставшиеся $n-t$ лет. Поэтому её итоговый вклад в сумму через $n$ лет равен $\pm X\cdot k^{\,n-t}$. Это удобный короткий способ прибавлять эффект операций, не выписывая всю цепочку умножений заново.

Как решать: метод и алгоритм

1. Определите ставку $p$ и переведите её в коэффициент $k = 1+\dfrac{p}{100}$.
2. Постройте временную шкалу: сколько всего лет длится вклад, в какие моменты начисляются проценты и в какие — происходят операции (снятие/пополнение). Уточните, операция происходит до или после начисления в данном году.
3. Двигаясь год за годом, обновляйте баланс по правилу «умножить на $k$, затем прибавить/вычесть сумму операции (если она есть в этом году)».
4. Если нужно сравнить «план» и «факт» или двух вкладчиков — выпишите обе конечные суммы в буквенном виде через $S_0$ и константы операций.
5. Вычтите одно выражение из другого. Слагаемое с $S_0$ обычно сокращается — тогда для ответа достаточно операций с известными числами (суммами снятий/пополнений), $S_0$ можно не искать вообще.
6. Проверьте знак ответа: кто больше, на сколько, и соответствует ли это смыслу задачи (например, снятие раньше по времени «дороже» банку, чем такое же снятие позже, потому что деньги дольше не работали на процентах).

Разбор примера

Пример 1. Вклад под $10\%$ годовых. Через год после начисления процентов вкладчик снял 2000 рублей, ещё через год (снова после начисления) внёс 2000 рублей обратно. Найти, на сколько сумма через 3 года меньше «плановой» (без операций).

Обозначим начальный вклад $S_0$, коэффициент роста $k = 1{,}1$.

Плановая сумма (без операций) через 3 года: $$S_{план} = S_0\cdot k^3 = S_0\cdot 1{,}331.$$

Фактическая сумма — считаем год за годом.

Год 1: начисление процентов — $S_0\cdot 1{,}1$; затем снятие 2000: $$A_1 = S_0\cdot 1{,}1 - 2000.$$

Год 2: начисление процентов на $A_1$: $$A_1\cdot 1{,}1 = S_0\cdot 1{,}21 - 2200;$$ затем внесли обратно 2000: $$A_2 = S_0\cdot 1{,}21 - 2200 + 2000 = S_0\cdot 1{,}21 - 200.$$

Год 3: начисление процентов, операций больше нет: $$A_3 = A_2\cdot 1{,}1 = S_0\cdot 1{,}331 - 220.$$

Теперь находим разницу между плановой и фактической суммой: $$S_{план} - A_3 = S_0\cdot 1{,}331 - \left(S_0\cdot 1{,}331 - 220\right) = 220.$$

Член с $S_0$ сократился — ответ не зависит от размера вклада. Вкладчик получил на 220 рублей меньше запланированного.

Можно получить тот же результат короче через «денежные потоки»: снятие 2000 в конце года 1 «стоит» банку $2000\cdot k^{2}$ к концу третьего года (эти деньги не работали два оставшихся года), а внесение 2000 в конце года 2 «приносит» $2000\cdot k^{1}$ к концу третьего года. Итоговая потеря: $$2000\cdot 1{,}1^2 - 2000\cdot 1{,}1 = 2420 - 2200 = 220.$$ Ответ совпадает — это удобная проверка.

Пример 2. Миша и Маша положили одинаковые суммы $S_0$ под $10\%$ годовых ($k=1{,}1$). Миша через год снял 5000, а ещё через год довнёс 5000. Маша через год довнесла 5000, а ещё через год сняла 5000. Кто получит больше через 3 года и на сколько?

Миша. Год 1: $S_0\cdot 1{,}1$, снятие 5000 → $S_0\cdot 1{,}1 - 5000$. Год 2: умножаем на $1{,}1$ → $S_0\cdot 1{,}21 - 5500$, добавляем 5000 → $S_0\cdot 1{,}21 - 500$. Год 3: умножаем на $1{,}1$ → $$M = S_0\cdot 1{,}331 - 550.$$

Маша. Год 1: $S_0\cdot 1{,}1$, довнесение 5000 → $S_0\cdot 1{,}1 + 5000$. Год 2: умножаем на $1{,}1$ → $S_0\cdot 1{,}21 + 5500$, снятие 5000 → $S_0\cdot 1{,}21 + 500$. Год 3: умножаем на $1{,}1$ → $$K = S_0\cdot 1{,}331 + 550.$$

Разница: $$K - M = \left(S_0\cdot 1{,}331 + 550\right) - \left(S_0\cdot 1{,}331 - 550\right) = 1100.$$

Член с $S_0$ снова сократился. Маша получит больше на 1100 рублей, потому что её дополнительные деньги (5000 рублей) находились на счёте и работали под процентом дольше, чем аналогичная сумма у Миши, а её изъятие 5000 произошло позже, чем изъятие у Миши.

Типичные ошибки

• Перепутан порядок «начисление — операция». Если применить операцию до начисления процентов вместо «после», результат сдвигается и ответ будет неверным. Всегда перечитывайте формулировку: «после начисления процентов» значит сначала умножаем на $k$, потом меняем сумму.
• Ошибка со знаком операции. Снятие — это минус, пополнение — плюс. При длинной цепочке легко перепутать знак на одном из шагов, особенно если в задаче фигурируют два вкладчика с противоположными действиями (как в примере 2).
• Забывают, что деньги от операции продолжают участвовать в начислении процентов. Например, снятые 2000 рублей в году 1 не «выпадают» из истории насовсем — если их потом возвращают, они снова начинают расти, но уже с года внесения, а не с начала.
• Пытаются найти конкретное значение $S_0$, хотя оно не нужно. Если задача спрашивает только про разницу сумм, лишняя работа по восстановлению $S_0$ отнимает время и может привести к вычислительной ошибке. Проверяйте, сокращается ли $S_0$, прежде чем искать его отдельно.
• Неверный перевод процента в коэффициент. $10\%$ годовых — это $k = 1{,}1$, а не $0{,}1$ или $1{,}01$. Ошибка на этом шаге портит весь расчёт.
• Ошибка в степени при использовании метода «денежных потоков». Важно правильно посчитать, сколько лет остаётся до конца срока с момента операции — именно эта степень $k$ используется для переноса суммы операции на итоговый момент.

На что обратить внимание на экзамене

Сначала выпишите временную шкалу вклада на черновике: сколько лет длится вклад, в какие годы происходит начисление, в какие — операции, и в каком порядке (начисление, потом операция, или наоборот). Это экономит время и снимает риск ошибки в порядке действий.

Если задача сравнивает два сценария (план/факт или двух вкладчиков), сразу проверяйте, сокращается ли начальный вклад $S_0$ при вычитании итоговых сумм. Если да — считайте только слагаемые от операций, это быстрее и надёжнее полного расчёта с буквой $S_0$.

Для быстрой проверки используйте метод переноса денежного потока: сумма операции $X$, произошедшая за $m$ лет до конца срока, вносит в итоговую сумму вклад $\pm X\cdot k^{m}$. Сравнение таких вкладов от каждой операции — надёжный способ и решить задачу, и проверить более длинный пошаговый расчёт.

Внимательно считайте степени коэффициента $k$ — ошибка на единицу в показателе (например, $k^2$ вместо $k^3$) даёт совершенно другой числовой ответ, при этом сама структура решения останется «похожей на правильную», и такую ошибку легко не заметить при проверке.

Наконец, ответом в этой подтеме обычно является целое число рублей — если в процессе вычислений получаются «некрасивые» десятичные дроби, это сигнал перепроверить порядок операций или знак какого-то из слагаемых.