ГлавнаяЕГЭ Математика (профиль)Задание 16Вклады

Задание 16 ЕГЭ, математика (профиль): Вклады

ЕГЭ Математика (профиль)Задание 16Задачи о вкладах

Баба Валя, накопив часть своей пенсии, решила улучшить свое материальное положение. Она узнала, что в Спёрбанке от пенсионеров принимают вклады под определенный процент годовых и на этих условиях внесла свои сбережения в ближайшее отделение Спёрбанка. Но через некоторое время соседка ей рассказала, что недалеко от той местности, где проживают пенсионеры, есть коммерческий банк, в котором процент годовых для пенсионеров-вкладчиков в 20 раз выше, чем в Спёрбанке. Баба Валя не доверяла коммерческим банкам, но стремление улучшить свое материальное положение взяло верх. После долгих колебаний и ровно через год после открытия счета в Спёрбанке Баба Валя сняла половину образовавшейся суммы от ее вклада, заявив: «Такой навар меня не устраивает!» и открыла счет в том коммерческом банке, о котором говорила ее соседка, не теряя надежды на значительное улучшение своего материального благосостояния.

Надежды оправдались: через год сумма Бабы Вали в коммерческом банке превысила ее первоначальные кровные сбережения на 65%. Сожалела Баба Валя, что год назад в Спёрбанке сняла не всю сумму, а лишь половину, однако, подумала: «А где же мы не теряли?..» Гендиректор коммерческого банка оказался хорошим: не оставил Бабу Валю без денег.

А каков в Спёрбанке процент годовых для пенсионеров?

В подтеме 53 задач
Разбор
Главная идея: Записать сумму после года хранения в Спёрбанке, взять половину как вклад в коммерческий банк с процентом в 20 раз выше и приравнять итоговую сумму к 1,65S1{,}65S, получив квадратное уравнение относительно ставки xx.

Пусть баба Валя внесла в Спёрбанк SS у.е. под x%x\% годовых, а в коммерческом банке ставка в 20 раз выше — 20x%20x\%. Ставим шаги.

  1. За год вклад в Спёрбанке вырос по формуле простых процентов: S(1+0,01x)S\left(1+0{,}01x\right) — это сумма, накопленная на счёте через год.

  2. Баба Валя забирает половину этой суммы: S2(1+0,01x)\dfrac{S}{2}\left(1+0{,}01x\right) — именно эта величина становится вкладом в коммерческий банк.

  3. В коммерческом банке ставка 20x%20x\%, поэтому через год сумма увеличивается в (1+0,01⋅20x)=(1+0,2x)(1+0{,}01\cdot20x)=(1+0{,}2x) раз: S2(1+0,01x)(1+0,2x).\dfrac{S}{2}\left(1+0{,}01x\right)\left(1+0{,}2x\right).

  4. По условию итоговая сумма превысила первоначальные сбережения SS на 65%, то есть равна 1,65S1{,}65S. Составляем уравнение: S2(1+0,01x)(1+0,2x)=1,65S.\dfrac{S}{2}\left(1+0{,}01x\right)\left(1+0{,}2x\right)=1{,}65S.

  5. Сокращаем на SS (сумма положительна) и умножаем обе части на 2: (1+0,01x)(1+0,2x)=3,3.(1+0{,}01x)(1+0{,}2x)=3{,}3.

  6. Чтобы избавиться от десятичных дробей, умножаем на 100: (100+x)(10+2x)=3300.(100+x)(10+2x)=3300.

  7. Раскрываем скобки и переносим всё в одну сторону: 2x2+210x+1000−3300=0  ⇒  x2+105x−1150=0.2x^2+210x+1000-3300=0 \;\Rightarrow\; x^2+105x-1150=0.

  8. Решаем квадратное уравнение через дискриминант: D=1052+4⋅1150=11025+4600=15625=1252D=105^2+4\cdot1150=11025+4600=15625=125^2. x=−105±1252⇒x1=−115,  x2=10.x=\dfrac{-105\pm125}{2}\Rightarrow x_1=-115,\; x_2=10.

  9. Так как процент годовых не может быть отрицательным, подходит только x=10x=10.

Ответ: в Спёрбанке ставка для пенсионеров — 10% годовых.

Типичные ошибки

  • Забывают, что в коммерческий банк вложена только половина суммы, а не вся сумма после года в Спёрбанке.
  • Ошибочно считают ставку коммерческого банка как x+20x+20 или 20+0,01x20+0{,}01x вместо правильного 20x%20x\% (в 20 раз выше).
  • Принимают отрицательный корень уравнения за ответ, не проверяя смысл величины (процент не может быть отрицательным).
Непонятно?

Похожие задачи