Задание 16 ЕГЭ, математика (профиль): Вклады

Пусть за каждые 6 месяцев сумма на счёте умножается на коэффициент $k=1+\dfrac{r}{200}$ (это множитель роста за полугодие, если годовая ставка $r$%, то за полгода начисляется $r/2\%$, значит сумма умножается на $1+\dfrac{r/2}{100}=1+\dfrac{r}{200}$).

Через 6 мес. На счёте было 1000 тыс., проценты начисляются на неё, затем сразу вносится 330 тыс.: $$1000k+330 \text{ тыс. руб.}$$

Через 12 мес. Проценты начисляются на всю сумму $(1000k+330)$, затем снимается 1098 тыс.: $$(1000k+330)k-1098 \text{ тыс. руб.}$$

Через 18 мес. (конец договора) проценты начисляются последний раз на оставшуюся сумму, снятий/пополнений уже нет: $$\big((1000k+330)k-1098\big)k=428.$$

Раскрываем скобки: $$1000k^3+330k^2-1098k=428.$$

Делим на 2: $$500k^3+165k^2-549k-214=0.$$

Подбором находим корень $k=-1$ (проверка: $-500+165+549-214=0$ — верно). Делим многочлен на $(k+1)$, получаем $$500k^2-335k-214=0.$$

По формуле корней квадратного уравнения: $$k=\frac{335\pm\sqrt{335^2+4\cdot500\cdot214}}{1000}=\frac{335\pm665}{1000}.$$

Отсюда $k=-0{,}4$ или $k=1{,}07$.

По смыслу задачи $k>1$ (вклад растёт), значит подходит только $k=1{,}07$.

Тогда $1+\dfrac{r}{200}=1{,}07 \Rightarrow \dfrac{r}{200}=0{,}07 \Rightarrow r=14.$