ГлавнаяЕГЭ Математика (профиль)Задание 16Вклады

Задание 16 ЕГЭ, математика (профиль): Вклады

ЕГЭ Математика (профиль)Задание 16Задачи о вкладах

Миша и Маша положили в один и тот же банк одинаковые суммы под 10% годовых. Через год сразу после начисления процентов Миша снял со своего счета 5000 рублей, а еще через год снова внес 5000 рублей. Маша, наоборот, через год доложила на свой счет 5000 рублей, а еще через год сразу после начисления процентов сняла со счета 5000 рублей. Кто через три года со времени первоначального вложения получит большую сумму и на сколько рублей?

В подтеме 53 задач
Разбор
Главная идея: Нужно последовательно расписать движение денег по годам с учётом начисления 10% на текущий остаток, а затем сравнить итоговые суммы — разница возникает из-за того, в какой момент внесены/снятые 5000 рублей и сколько раз на них успел начислиться процент.

Пусть каждый положил xx рублей под 10% годовых, то есть каждый год сумма умножается на 1,11{,}1.

Маша. Через год у неё 1,1x1{,}1x, и она добавляет 5000: 1,1x+50001{,}1x+5000. Ещё через год эта сумма увеличивается на 10%: 1,1(1,1x+5000)=1,21x+55001{,}1(1{,}1x+5000)=1{,}21x+5500. Затем она снимает 5000: 1,21x+5001{,}21x+500. За третий год снова +10%: 1,1(1,21x+500)=1,331x+5501{,}1(1{,}21x+500)=1{,}331x+550.

Миша. Через год у него 1,1x1{,}1x, он снимает 5000: 1,1x−50001{,}1x-5000. Через год +10%: 1,21x−55001{,}21x-5500. Он добавляет 5000: 1,21x−5001{,}21x-500. За третий год +10%: 1,1(1,21x−500)=1,331x−5501{,}1(1{,}21x-500)=1{,}331x-550.

Сравнение. У обоих осталась одинаковая часть 1,331x1{,}331x, а разница создаётся слагаемыми +550+550 у Маши и −550-550 у Миши. Причина: Маша положила лишние 5000 раньше, и на них дополнительно начислился процент ещё один раз (5000⋅1,1⋅0,1=5505000\cdot1{,}1\cdot0{,}1=550), а у Миши эти же 5000 отсутствовали на счёте именно в тот год, когда мог бы начислиться процент, поэтому он их "не заработал" (5000⋅1,1⋅0,1=5505000\cdot1{,}1\cdot0{,}1=550 недополучено).

Итоговая разница: 550−(−550)=1100550-(-550)=1100 рублей — у Маши больше.

Типичные ошибки

  • Забывают, что проценты начисляются на остаток именно перед внесением/снятием, а не после, и путают порядок операций в году.
  • Считают проценты только на первоначальную сумму x, не учитывая, что дополнительная сумма 5000 тоже участвует в начислении процентов в последующие годы.
  • Ошибаются в знаках при снятии и внесении денег, из-за чего получают неверный итоговый остаток на счёте.
Непонятно?

Похожие задачи