Задание 16 ЕГЭ, математика (профиль): Вклады

Пусть $S=64000$ — начальный вклад, $k=1+\dfrac{25}{100}=\dfrac{5}{4}$ — коэффициент роста за год (умножение на него равносильно начислению 25%), а $x$ — сумма, которую вкладчик добавлял в конце каждого из первых трёх лет.

После начисления процентов и добавления суммы вклад меняется так:

• конец 1‑го года: $kS+x$;
• конец 2‑го года: $k^2S+kx+x$;
• конец 3‑го года: $k^3S+k^2x+kx+x$;
• конец 4‑го года (добавок уже нет, только проценты на всё, что накопилось): $k^4S+k^3x+k^2x+kx$.

По условию эта сумма равна 385000: $$k^4S+k^3x+k^2x+kx=385000.$$

Выносим $x$ и находим его: $$x=\frac{385000-k^4S}{k^3+k^2+k}=\frac{385000-k^4S}{k(k^2+k+1)}.$$

Подставляем числа. $k^4=\left(\dfrac54\right)^4=\dfrac{625}{256}$, поэтому $k^4S=\dfrac{625}{256}\cdot 64000=156250$.

Числитель: $385000-156250=228750$.

Знаменатель: $k^2+k+1=\dfrac{25}{16}+\dfrac54+1=\dfrac{61}{16}$, тогда $k(k^2+k+1)=\dfrac54\cdot\dfrac{61}{16}=\dfrac{305}{64}$.

Отсюда $$x=\frac{228750}{305/64}=228750\cdot\frac{64}{305}=750\cdot64=48000.$$

Таким образом, вкладчик ежегодно добавлял 48 000 рублей.