ГлавнаяЕГЭ Математика (профиль)Задание 16Вклады

Задание 16 ЕГЭ, математика (профиль): Вклады

ЕГЭ Математика (профиль)Задание 16Задачи о вкладах

В банк был положен вклад под 10% годовых. Через год, после начисления процентов, вкладчик снял со счета 2000 рублей, а еще через год (опять после начисления процентов) снова внес 2000 рублей. Вследствие этих действий через три года со времени открытия вклада вкладчик получил сумму меньше запланированной (если бы не было промежуточных операций со вкладом). На сколько рублей меньше запланированной суммы он получил?

В подтеме 53 задач
Разбор
Главная идея: Записать сумму вклада как функцию от начального капитала с учётом операций снятия/внесения 2000 рублей через год и два года, и сравнить её с суммой без операций через коэффициент роста 1,11,1 за каждый год.

Пусть первоначальный вклад равен xx рублей, ставка — 10% годовых, значит каждый год сумма умножается на коэффициент 1,11,1.

Без операций. Если вклад не трогать, через 3 года он вырастет до 1,13x1,1^3x рублей — это запланированная сумма.

С операциями.

  1. Через год начислены проценты: сумма стала 1,1x1,1x. Затем снято 2000 руб., остаётся 1,1x−20001,1x-2000.
  2. Ещё через год на эту сумму начисляются проценты: (1,1x−2000)⋅1,1(1,1x-2000)\cdot 1,1. Затем вносится 2000 руб.: сумма становится (1,1x−2000)⋅1,1+2000(1,1x-2000)\cdot 1,1+2000.
  3. На третий год снова начисляются проценты: итоговая сумма [(1,1x−2000)⋅1,1+2000]⋅1,1=1,13x−2000⋅1,12+2000⋅1,1.\big[(1,1x-2000)\cdot1,1+2000\big]\cdot1,1=1,1^3x-2000\cdot1,1^2+2000\cdot1,1.

Разница. Найдём, на сколько реальная сумма меньше запланированной: 1,13x−(1,13x−2000⋅1,12+2000⋅1,1)=2000⋅1,12−2000⋅1,1.1,1^3x-\big(1,1^3x-2000\cdot1,1^2+2000\cdot1,1\big)=2000\cdot1,1^2-2000\cdot1,1. Вынесем общий множитель 2000⋅1,12000\cdot1,1: 2000⋅1,1⋅(1,1−1)=2000⋅1,1⋅0,1=220.2000\cdot1,1\cdot(1,1-1)=2000\cdot1,1\cdot0,1=220.

Значит, из-за снятия и последующего внесения тех же 2000 рублей теряются проценты, которые они принесли бы за один «пропущенный» год начисления, и разница составляет 220 рублей.

Типичные ошибки

  • Забывают, что после снятия суммы проценты в следующем году начисляются уже на уменьшенный остаток, а не на полную сумму.
  • Ошибаются в порядке начисления процентов и внесения/снятия денег — путают, когда именно происходит операция относительно начисления процентов.
  • Считают итоговую разницу без вынесения общего множителя, теряя знаки или забывая учесть степень коэффициента роста для каждого года.
Непонятно?

Похожие задачи