ГлавнаяЕГЭ Математика (профиль)Задание 16Вклады

Задание 16 ЕГЭ, математика (профиль): Вклады

ЕГЭ Математика (профиль)Задание 16Задачи о вкладах

Аристарх открывает банковский вклад «Стабильный» на 1 год, по условиям которого выплата процентов производится ежемесячно на отдельный счет из расчета 15% годовых. При досрочном расторжении договора вклада банк пересчитывает выплаченные проценты из расчета 1% годовых. После шестой выплаты процентов Аристарх узнал, что банк предлагает новый вклад «Стабильно Стабильный» на тех же условиях, но только под 25% годовых. Слегка подумав, Аристарх закрывает вклад «Стабильный» и всю сумму переводит на вклад «Стабильно Стабильный». Сколько рублей потерял Аристарх вследствие своих непродуманных действий по итогам года, если сумма вклада  — 1 млн рублей? После какой по счету выплаты процентов действия Аристарха не принесли бы убытка?

В подтеме 53 задач
Разбор
Главная идея: Сравнить фактический доход от смены вклада (с пересчётом процентов по 1% за прошедший срок плюс новая ставка за остаток года) с гипотетическим доходом без смены, а для второго пункта — выразить доход как функцию числа месяцев на первом вкладе и решить неравенство.

Если бы Аристарх не трогал вклад «Стабильный», он получил бы за год 1 000 000⋅0,15=150 0001\,000\,000\cdot0{,}15=150\,000 руб. — это годовая ставка 15% просто умножается на сумму, так как выплаты ежемесячные, но итоговая сумма процентов за год всё равно равна годовой ставке от вклада.

Он закрыл вклад через 6 месяцев. При досрочном расторжении проценты за уже прошедшие месяцы пересчитываются по ставке 1% годовых, то есть за полгода он получил 0,012⋅1 000 000=5000\dfrac{0{,}01}{2}\cdot1\,000\,000=5000 руб. На оставшиеся полгода деньги легли на новый вклад под 25% годовых, что даст 0,252⋅1 000 000=125 000\dfrac{0{,}25}{2}\cdot1\,000\,000=125\,000 руб. Суммарно: 5000+125 000=130 0005000+125\,000=130\,000 руб.

Разница с тем, что было бы при неизменном вкладе: 150 000−130 000=20 000150\,000-130\,000=20\,000 руб. — это и есть потеря.

Чтобы понять, когда переход был бы выгоден, введём nn — число месяцев на первом вкладе, тогда (12−n)(12-n) — на втором. Доход за год: 0,0112Sn+0,2512S(12−n)=0,25S−0,02Sn\dfrac{0{,}01}{12}Sn+\dfrac{0{,}25}{12}S(12-n)=0{,}25S-0{,}02Sn. При S=1 000 000S=1\,000\,000 получаем 250 000−20 000n250\,000-20\,000n.

Это должно быть не меньше 150 000 (доход без перехода): 250 000−20 000n≥150 000⇒n≤5250\,000-20\,000n\ge150\,000\Rightarrow n\le5. То есть переход не приносит убытка, если закрыть вклад после одной из первых пяти выплат.

Типичные ошибки

  • Забывают, что при досрочном расторжении проценты пересчитываются по 1% годовых только за фактически прошедший срок, а не за весь год.
  • Ошибочно берут долю года не как половину (6/12), а используют неверные дробные коэффициенты.
  • При решении неравенства для n забывают, что доход без перехода фиксирован (150 000 руб.), и сравнивают с неверной величиной.
Непонятно?

Похожие задачи