Задание 16 ЕГЭ, математика (профиль): Вклады

Обозначим первоначальный вклад через $S$ (млн руб.), а коэффициент роста за год — через $k=1+\dfrac{r}{100}$, где $r$ — годовая ставка. Так как ставка не меняется, каждый год сумма на счёте умножается на одно и то же число $k$.

Шаг 1. После первого начисления процентов сумма стала $Sk$. Затем Егор добавил $0,9S$, поэтому остаток на счёте: $$Sk+0{,}9S=3{,}4.\quad(*)$$

Шаг 2. В течение второго года начисляются проценты уже на всю сумму $Sk+0{,}9S$, то есть остаток умножается на $k$: $$S(k+0{,}9)k=2{,}2S.$$

Шаг 3. Поскольку $S>0$, можно разделить обе части на $S$: $$k^2+0{,}9k=2{,}2\;\Rightarrow\;k^2+0{,}9k-2{,}2=0.$$

Это квадратное уравнение относительно $k$. Решая его (через дискриминант или подбором корней), получаем два значения: $$k=1{,}1\quad\text{и}\quad k=-2.$$

По смыслу задачи $k>0$ (коэффициент роста при начислении процентов не может быть отрицательным), значит подходит только $k=1{,}1$ (что соответствует ставке 10% годовых).

Шаг 4. Подставим найденное $k=1{,}1$ в уравнение $(*)$: $$1{,}1S+0{,}9S=3{,}4\;\Rightarrow\;2S=3{,}4\;\Rightarrow\;S=1{,}7.$$

Таким образом, первоначальная сумма вклада равна 1,7 млн рублей.