Задание 16 ЕГЭ, математика (профиль): Вклады

Пусть первоначальный вклад равен $S$, а исходная ставка — $x\%$ годовых.

По истечении первого года сумма на счёте выросла по формуле простого начисления процентов за год: $S(1+0{,}01x)$ — это стандартная запись «сумма плюс x процентов от неё».

По условию сняли четверть накопленной суммы, значит осталось $\frac{3}{4}$ от неё: $$\frac{3S}{4}(1+0{,}01x).$$

Ставку увеличили на 40 процентных пунктов, то есть новая ставка равна $(x+40)\%$. За второй год оставшаяся сумма увеличивается по тому же принципу — умножается на $(1+0{,}01(x+40))$: $$\frac{3S}{4}(1+0{,}01x)(1+0{,}01(x+40)).$$

По условию к концу второго года эта сумма равна $1{,}44S$. Составляем уравнение: $$\frac{3S}{4}(1+0{,}01x)(1+0{,}01(x+40))=1{,}44S.$$

Сокращаем на $S$ (сумма положительна) и умножаем на $4/3$: $$(1+0{,}01x)(1+0{,}01(x+40))=1{,}92.$$

Чтобы избавиться от десятичных дробей, умножаем обе скобки на 100 и делим правую часть на $100\cdot100$: $$(100+x)(140+x)=19200.$$

Раскрываем скобки и приводим к квадратному уравнению: $$x^2+240x+14000=19200 \;\Rightarrow\; x^2+240x-5200=0.$$

Решаем через дискриминант (или выделяя полный квадрат, как в исходном решении): $$x=-120\pm\sqrt{120^2+5200}=-120\pm\sqrt{19600}=-120\pm140.$$

По смыслу задачи ставка $x$ положительна, поэтому берём знак «плюс»: $$x=20.$$

Это исходная ставка. Новая ставка после повышения на 40 процентных пунктов: $$20+40=60.$$