ГлавнаяЕГЭ Математика (профиль)Задание 16Вклады

Задание 16 ЕГЭ, математика (профиль): Вклады

ЕГЭ Математика (профиль)Задание 16Задачи о вкладах

Константин Константинович хочет положить сумму денег в банк под проценты. Треть этой суммы он помещает на вклад «Радостный» под r% годовых, а оставшуюся часть  — на вклад «Надежный» под q% годовых. Проценты начисляются в конце года и добавляются к сумме вклада. Через год сумма вкладов с учетом процентов увеличилась на дробь: числитель: 2, знаменатель: 15 конец дроби от первоначального значения, а через два года составила 463 200 рублей. Если бы изначально треть суммы была положена на вклад «Надежный», а оставшиеся средства  — на вклад «Радостный», то через год сумма вкладов с учетом добавленных процентов увеличилась бы на дробь: числитель: 1, знаменатель: 6 конец дроби от первоначальной. Чему в этом случае была бы равна сумма вкладов через 2 года?

В подтеме 53 задач
Разбор
Главная идея: Ввести коэффициенты годового роста для обоих вкладов, составить систему уравнений по двум сценариям распределения суммы через год, найти коэффициенты и начальный капитал, а затем вычислить итоговую сумму через два года по нужному сценарию.

Пусть первоначальная сумма — SS рублей, а годовые коэффициенты роста вкладов равны k1=1+r100k_1=1+\dfrac{r}{100} («Радостный») и k2=1+q100k_2=1+\dfrac{q}{100} («Надёжный»).

Шаг 1. По первому варианту размещения (треть на «Радостный», две трети на «Надёжный») через год сумма стала 13Sk1+23Sk2=S(1+215)=1715S\frac13Sk_1+\frac23Sk_2=S\left(1+\frac{2}{15}\right)=\frac{17}{15}S.

Шаг 2. По второму варианту (две трети на «Радостный», треть на «Надёжный») через год сумма стала 23Sk1+13Sk2=S(1+16)=76S\frac23Sk_1+\frac13Sk_2=S\left(1+\frac16\right)=\frac{7}{6}S.

Сокращая на SS, получаем систему для коэффициентов: k1+2k2=175,2k1+k2=72.k_1+2k_2=\frac{17}{5},\qquad 2k_1+k_2=\frac{7}{2}. Решая её (подстановкой), находим k1=65k_1=\dfrac{6}{5}, k2=1110k_2=\dfrac{11}{10} — это множители, на которые умножается вклад за год.

Шаг 3. Через два года при первом варианте размещения сумма равна 13Sk12+23Sk22\frac13Sk_1^2+\frac23Sk_2^2. Подставив k12=3625k_1^2=\frac{36}{25}, k22=121100k_2^2=\frac{121}{100} и приравняв к 463200, получаем уравнение на SS, из которого S=360000S=360000 рублей.

Шаг 4. Нужная величина — сумма через 2 года при втором варианте размещения (2/3 на «Радостный», 1/3 на «Надёжный»): 360000(23⋅3625+13⋅121100)=490800 руб.360000\left(\frac23\cdot\frac{36}{25}+\frac13\cdot\frac{121}{100}\right)=490800\text{ руб.}

Типичные ошибки

  • Путают, какая доля суммы (1/3 или 2/3) относится к какому вкладу в каждом из сценариев.
  • Забывают, что через два года коэффициент роста нужно возводить в квадрат, а не умножать на 2.
  • Ошибки при решении системы линейных уравнений на k1 и k2 из-за путаницы с дробями.
Непонятно?

Похожие задачи