Задание 16 ЕГЭ, математика (профиль): Вклады

Пусть вклад x лет рос на 5%, y лет — на 10%, и один год — на 25% (по условию последний год именно такой). Тогда итоговая сумма вычисляется как произведение начальной суммы на все коэффициенты роста: $$32000\cdot1{,}05^{x}\cdot1{,}1^{y}\cdot1{,}25=53361.$$

Запишем коэффициенты как обыкновенные дроби и разложим числа на простые множители, чтобы было удобно сокращать степени: $$1{,}05=\frac{21}{20},\quad 1{,}1=\frac{11}{10},\quad 1{,}25=\frac54,\quad 32000=2^5\cdot10^3.$$

Подставим и получим: $$2^5\cdot10^3\cdot\left(\frac{21}{20}\right)^x\cdot\left(\frac{11}{10}\right)^y\cdot\frac54=53361.$$

Заметим, что $53361=3^2\cdot7^2\cdot11^2$ — это позволяет сравнить множители простых чисел в обеих частях равенства.

Перенесём степени 20 и 10 из знаменателя дробей в общий знаменатель и упростим левую часть, сократив степени двойки и пятёрки, получаем уравнение только с переменными степенями: $$\left(\frac{21}{20}\right)^x\cdot\left(\frac{11}{10}\right)^y=\frac{21^2\cdot11^2}{2^2\cdot10^4}.$$

Поскольку слева в числителе стоят только множители 3, 7, 11 (из 21 и 11), а справа — ровно $21^2\cdot11^2$, то по единственности разложения на простые множители должно выполняться $x=2$ и $y=2$ — иначе степени простых чисел 3, 7, 11 не совпадут.

Значит, всего вклад находился в банке $x+y+1=2+2+1=5$ лет (плюс один год под 25%).