Задание 16 ЕГЭ, математика (профиль): Вклады

Пусть вклад пробыл $x$ лет в первом банке (рост в 1,15 раза) и $n$ лет во втором (рост в 1,2 раза). Тогда итоговая сумма выражается так: $$1\,000\,000\cdot1.15^{x}\cdot1.2^{n}=2\,285\,280.$$

Переведём коэффициенты в дроби, чтобы удобно работать с целыми числами: $1.15=\dfrac{23}{20}$, $1.2=\dfrac{6}{5}$. Получаем $$1\,000\,000\left(\dfrac{23}{20}\right)^{x}\left(\dfrac{6}{5}\right)^{n}=2\,285\,280.$$

Число 23 простое и не входит ни в множитель $1\,000\,000=2^6\cdot5^6$, ни в $\dfrac65$. Значит, чтобы равенство выполнялось с целым результатом, правая часть должна делиться на $23^{x}$, но не делиться на $23^{x+1}$. Делим 2 285 280 на 23: $2\,285\,280:23=99\,360$, ещё раз: $99\,360:23=4\,320$, а $4\,320$ на 23 уже не делится нацело. Следовательно, $x=2$.

Подставляем $x=2$ и получаем уравнение только с $n$: $$1\,000\,000\cdot\dfrac{23^2}{20^2}\cdot\left(\dfrac65\right)^{n}=2\,285\,280,$$ $$2500\cdot529\cdot\left(\dfrac65\right)^{n}=2\,285\,280,$$ $$\left(\dfrac65\right)^{n}=\dfrac{2\,285\,280}{1\,322\,500}=\dfrac{216}{125}=\left(\dfrac65\right)^{3}.$$

Отсюда $n=3$ — именно столько лет вклад провёл во втором банке.