ГлавнаяЕГЭ Математика (профиль)Задание 16Вклады

Задание 16 ЕГЭ, математика (профиль): Вклады

ЕГЭ Математика (профиль)Задание 16Задачи о вкладах

Вклад планируется положить на пять лет, он составляет целое число сотен тысяч рублей. В конце каждого года вклад увеличивается на 20% по сравнению с его размером в начале года. Кроме этого, в начале четвертого и пятого годов вклад ежегодно пополняется на 100 тысяч рублей. Найдите наибольший размер первоначального вклада (в рублях), при котором через 5 лет он будет меньше 800 тысяч рублей.

В подтеме 53 задач
Разбор
Главная идея: Последовательно применить формулу роста Sn=Sn−1⋅1,2S_{n}=S_{n-1}\cdot1{,}2 к сумме вклада с учётом дополнительных пополнений в начале 4-го и 5-го годов, получить выражение итоговой суммы через SS, решить неравенство и выбрать наибольшее допустимое целое значение с учётом кратности 100 тысячам.

Пусть первоначальный вклад равен SS тысяч рублей (по условию SS — целое число сотен тысяч, то есть кратно 100).

Рост на 20% каждый год. Увеличение на 20% означает умножение суммы на 1,21{,}2. Поэтому:

  • конец 1-го года: 1,2S1{,}2S;
  • конец 2-го года: 1,2⋅1,2S=1,44S1{,}2\cdot1{,}2S=1{,}44S;
  • конец 3-го года: 1,44S⋅1,2=1,728S1{,}44S\cdot1{,}2=1{,}728S.

Пополнения. По условию в начале 4-го и 5-го годов добавляется по 100 тысяч рублей. Это происходит до начисления процентов за соответствующий год.

  • начало 4-го года: 1,728S+1001{,}728S+100;
  • конец 4-го года (умножаем на 1,2): (1,728S+100)⋅1,2=2,0736S+120(1{,}728S+100)\cdot1{,}2=2{,}0736S+120;
  • начало 5-го года (плюс ещё 100): 2,0736S+2202{,}0736S+220;
  • конец 5-го года (умножаем на 1,2): (2,0736S+220)⋅1,2=2,48832S+264(2{,}0736S+220)\cdot1{,}2=2{,}48832S+264.

Условие задачи. Через 5 лет вклад должен быть меньше 800 тысяч рублей: 2,48832S+264<800.2{,}48832S+264<800.

Решаем неравенство: 2,48832S<536⇒S<5362,48832≈215,406.2{,}48832S<536 \quad\Rightarrow\quad S<\frac{536}{2{,}48832}\approx215{,}406.

Учёт условия «целое число сотен тысяч». Значения SS могут быть только 100, 200, 300, ... Наибольшее такое число, меньшее 215,4, — это S=200S=200.

Значит, наибольший первоначальный вклад, удовлетворяющий условию, равен 200 тысячам рублей.

Типичные ошибки

  • Добавлять пополнение после начисления процентов, а не перед ним, что меняет порядок операций и итоговую формулу.
  • Забывать, что после решения неравенства нужно выбрать не любое целое, а кратное 100 (в тысячах — целое число сотен тысяч рублей).
  • Ошибки при последовательном умножении коэффициентов роста (например, взять 1,251{,}2^5 вместо поэтапного применения с учётом пополнений).
Непонятно?

Похожие задачи