Задание 16 ЕГЭ, математика (профиль): Вклады

Пусть S — начальный размер каждого вклада (в тыс. руб.).

1. Считаем итог у Семёна. В начале второго года после первого начисления 10% и пополнения на x вклад равен $S\cdot1,1+x$. После второго начисления 10% и второго пополнения — $(S\cdot1,1+x)\cdot1,1+x$. В конце третьего года начисляется 5%, значит итог: $$A_{Сем}=\big((S\cdot1,1+x)\cdot1,1+x\big)\cdot1,05.$$

2. Считаем итог у Матвея. Он не пополняет вклад в начале второго года, поэтому после двух лет по 10% его вклад равен $S\cdot1,1\cdot1,1$. Затем в начале третьего года он добавляет $2x$, и вклад увеличивается на 5%: $$A_{Мат}=\big(S\cdot1,1\cdot1,1+2x\big)\cdot1,05.$$

3. Находим разность. Раскрыв скобки и приведя подобные, слагаемые с S взаимно уничтожаются (у обоих одинаковый множитель $1,1^2\cdot1,05$), остаются только слагаемые с x: $$A_{Сем}-A_{Мат}=0,105x=\frac{21x}{200}.$$ Это и есть превышение суммы Семёна над суммой Матвея.

4. Условие чётности. По условию эта разность должна быть чётным натуральным числом. Так как $\gcd(21,200)=1$, дробь $\frac{21x}{200}$ является целым числом только если $x$ делится на 200. Пусть $x=200k$, тогда $$\frac{21x}{200}=21k.$$ Чтобы $21k$ было чётным, нужно, чтобы $k$ было чётным. Наименьшее натуральное чётное $k=2$, откуда $x=200\cdot2=400$.

Проверка: при $x=400$ разность равна $21\cdot2=42$ — чётное число, условие выполнено. Меньшее значение (например, $x=200$) даёт разность $21$ — нечётное, не подходит.

Следовательно, наименьшее подходящее значение $x=400$.