Задание 16 ЕГЭ, математика (профиль): Вклады

Пусть начальная сумма вклада — $S$ (одинаковая для обоих вкладов, так как сравнивать нужно относительный рост).

Вклад «А». Каждый год сумма умножается на коэффициент $1+\frac{10}{100}=1{,}1$. За три года сумма вырастет так: $$S_A=1{,}1^3\cdot S=1{,}331S.$$

Вклад «Б». Первые два года ставка 11%, то есть за каждый из этих лет сумма умножается на $1{,}11$. За третий год ставка неизвестна — обозначим её $n$ процентов (натуральное число), тогда за третий год сумма умножается на $1+\frac{n}{100}$. Итог за три года: $$S_Б=1{,}11^2\left(1+\frac{n}{100}\right)S=1{,}2321\left(1+\frac{n}{100}\right)S.$$

Условие задачи — вклад «Б» должен быть менее выгоден, чем «А», то есть $$S_Б<S_A\ \Longrightarrow\ 1{,}2321\left(1+\frac{n}{100}\right)S<1{,}331S.$$

Сумма $S>0$, значит можно поделить обе части на $S$ и не менять знак неравенства: $$1{,}2321\left(1+\frac{n}{100}\right)<1{,}331.$$

Раскрываем скобки и переносим слагаемые, чтобы выразить $n$: $$1+\frac{n}{100}<\frac{1{,}331}{1{,}2321},$$ $$\frac{n}{100}<\frac{1{,}331-1{,}2321}{1{,}2321}=\frac{0{,}0989}{1{,}2321},$$ $$n<\frac{0{,}0989}{1{,}2321}\cdot100=\frac{989}{12{,}321}\approx8{,}02.$$

Так как $n$ — натуральное число, наибольшее значение, удовлетворяющее строгому неравенству $n<8{,}02$, равно $n=8$. Проверка показывает, что при $n=8$ неравенство выполняется (вклад «Б» действительно менее выгоден), а при $n=9$ — уже нет.