Задание 16 ЕГЭ, математика (профиль): Вклады

Пусть первоначальный взнос по обоим вкладам равен $S$.

Вклад «А» каждый год увеличивается на 10%, то есть умножается на $1{,}1$. За три года сумма станет $S\cdot 1{,}1^3 = 1{,}331\,S$ — это множитель роста для «А».

Вклад «Б» в первый год растёт на 7% (множитель $1{,}07$), а во второй и третий годы — на одинаковое целое число $n$ процентов (множитель $1+\dfrac{n}{100}$ каждый раз). Через три года сумма на «Б» равна $S\cdot 1{,}07\left(1+\dfrac{n}{100}\right)^2$.

По условию «Б» должен оказаться выгоднее «А», то есть итоговая сумма по «Б» должна быть строго больше итоговой суммы по «А»: $$1{,}07\left(1+\frac{n}{100}\right)^2 S > 1{,}331\,S.$$

Сокращаем на $S>0$ и выражаем квадрат скобки: $$\left(1+\frac{n}{100}\right)^2 > \frac{1{,}331}{1{,}07}=1{,}24\ldots$$

Теперь подбираем наименьшее натуральное $n$, удовлетворяющее этому неравенству, проверяя целые значения.

При $n=11$: $\left(1{,}11\right)^2=1{,}2321 < 1{,}24\ldots$ — неравенство не выполняется.

При $n=12$: $\left(1{,}12\right)^2=1{,}2544 > 1{,}24\ldots$ — неравенство выполняется.

Поскольку функция $\left(1+\dfrac{n}{100}\right)^2$ возрастает с ростом $n$, все меньшие значения $n$ также не подходят. Значит, наименьшее целое $n$, при котором вклад «Б» выгоднее вклада «А», равно $12$.