Задание 16 ЕГЭ, математика (профиль): Вклады

Найдём остаток на вкладе к началу 2030 года. 2 января 2031 г. банк начислил 5% на сумму, которая была на вкладе после 5 января 2030 г., и получил 24,15 млн руб. Значит $X_{2030}=\dfrac{24{,}15}{1{,}05}=23$ млн руб.

По условию сумма на 5 января каждый год больше суммы предыдущего года на одно и то же число $d$. За 10 лет (с 2020 по 2030) баланс вырос с 3 до 23 млн, т.е. на 20 млн, значит $d=\dfrac{20}{10}=2$ млн руб. Отсюда последовательность балансов на 5 января: $3,5,7,9,\dots,23$ (год 2020–2030).

Проценты банк начисляет 2 января, то есть ещё до того, как Андрей делает свой доп. взнос 4 января. Поэтому сумма начислений за год равна ставке, умноженной на баланс, который был на 5 января предыдущего года. Первые три года ставка 10% (2021–2023), затем 5% (2024–2031, всего 8 лет).

Составим сумму всех начислений: $$S=0{,}10\cdot(3+5+7)+0{,}05\cdot(9+11+13+15+17+19+21+23).$$

Считаем: $0{,}10\cdot15=1{,}5$. Для второй суммы это арифметическая прогрессия из 8 членов от 9 до 23: $\dfrac{9+23}{2}\cdot8=128$, значит $0{,}05\cdot128=6{,}4$.

Итог: $S=1{,}5+6{,}4=7{,}9$ млн руб. — это общий размер всех процентных начислений банка за весь срок вклада.