Задание 16 ЕГЭ, математика (профиль): Вклады

Обозначим сумму на вкладе на 3 января 2020 года через $S_0=2$ млн руб. Пусть на 3 января 2021 года вклад составит $S_1=2+x$ млн руб. По условию разности $d_k=S_k-S_{k-1}$ образуют арифметическую прогрессию с первым членом $x$ и разностью 1 млн руб., то есть $d_k=x+(k-1)$.

Тогда сумма вклада через $k$ лет: $$S_k=2+\sum_{i=1}^{k} d_i=2+kx+\frac{k(k-1)}{2}.$$ При $k=7$ (год 2027) по условию $S_7=30$: $$2+7x+21=30\Rightarrow x=1.$$

Подставляя $x=1$, находим последовательность сумм на 3 января: 2020 — 2; 2021 — 3; 2022 — 5; 2023 — 8; 2024 — 12; 2025 — 17; 2026 — 23; 2027 — 30 (каждая разность увеличивается на 1 млн, начиная с 1).

Банк начисляет 10% 1 января на ту сумму, что лежала на вкладе с 3 января предыдущего года (взнос делается позже, 2 января, и на него проценты в этом году ещё не начисляются). Поэтому начисление за год $N$ равно $0{,}1\cdot S_{N-1}$: $$0{,}1\cdot2,\ 0{,}1\cdot3,\ 0{,}1\cdot5,\ 0{,}1\cdot8,\ 0{,}1\cdot12,\ 0{,}1\cdot17,\ 0{,}1\cdot23.$$

Суммируем все начисления за 7 лет: $$0{,}1\cdot(2+3+5+8+12+17+23)=0{,}1\cdot70=7.$$

Таким образом, общий размер начислений банка составил 7 млн руб.