ГлавнаяЕГЭ Математика (профиль)Задание 16Вклады

Задание 16 ЕГЭ, математика (профиль): Вклады

ЕГЭ Математика (профиль)Задание 16Задачи о вкладах

Вклад планируется открыть на четыре года. Первоначальный вклад составляет целое число миллионов рублей. В конце каждого года банк увеличивает вклад на 10% по сравнению с его размером в начале года. Кроме этого, в начале третьего и четвертого годов вкладчик ежегодно пополняет вклад на 10 млн рублей. Найдите наибольший размер первоначального вклада, при котором банк за четыре года начислит на вклад меньше 15 млн рублей.

В подтеме 53 задач
Разбор
Главная идея: Начисленные банком проценты равны разности между итоговой суммой на счёте (полученной последовательным начислением 10% и добавлением пополнений) и суммой всех фактически внесённых денег; из полученного неравенства находится наибольшее целое значение вклада.
  1. Обозначим первоначальный вклад через SS (млн руб.).
  2. За год банк добавляет 10%, значит сумма умножается на 1,11{,}1. После первого года: 1,1S1{,}1S; после второго: 1,1⋅1,1S=1,21S1{,}1\cdot1{,}1S=1{,}21S.
  3. В начале третьего года вкладчик добавляет 10 млн, поэтому база для начисления процентов становится 1,21S+101{,}21S+10. После начисления процентов за третий год: 1,1(1,21S+10)=1,331S+111{,}1(1{,}21S+10)=1{,}331S+11.
  4. В начале четвёртого года снова добавляется 10 млн: 1,331S+211{,}331S+21. После начисления процентов за четвёртый год: 1,1(1,331S+21)=1,4641S+23,11{,}1(1{,}331S+21)=1{,}4641S+23{,}1 — это итоговая сумма на счёте через 4 года.
  5. Общая сумма, которую вкладчик реально внёс, равна S+10+10=S+20S+10+10=S+20 (первоначальный вклад плюс два пополнения).
  6. Проценты, начисленные банком, — это разница между итоговой суммой и всеми внесёнными деньгами: (1,4641S+23,1)−(S+20)<15.(1{,}4641S+23{,}1)-(S+20)<15.
  7. Упростим: 0,4641S+3,1<15⇒0,4641S<11,9⇒S<11,90,4641=252539≈25,64.0{,}4641S+3{,}1<15 \Rightarrow 0{,}4641S<11{,}9 \Rightarrow S<\dfrac{11{,}9}{0{,}4641}=25\dfrac{25}{39}\approx25{,}64.
  8. Так как SS — целое число миллионов рублей, наибольшее подходящее значение — S=25S=25.

Типичные ошибки

  • Ошибочно включают пополнения в сумму начисленных процентов, забывая их вычесть при составлении неравенства.
  • Неправильно определяют момент начисления процентов — путают начало и конец года при добавлении 10 млн рублей.
  • Округляют дробный корень неравенства в большую сторону вместо выбора наибольшего целого, меньшего полученного значения.
Непонятно?

Похожие задачи