Задание 16 ЕГЭ, математика (профиль): Вклады

Пусть начальная сумма вклада — $S$ рублей (у обеих одинаковая).

Шаг 1. Считаем рост вклада по годам. Первые три года сумма каждый раз умножается на $1{,}1$ (рост на 10%), а в конце четвёртого года — на $1{,}12$.

У Марины: после 1-го года — $1{,}1S$; после 2-го — $1{,}1^2S$; в начале 3-го добавляется $x$, к концу 3-го — $1{,}1(1{,}1^2S+x)$; в начале 4-го снова $+x$, к концу 4-го (рост 12%): $$M=1{,}12\Big(1{,}1(1{,}1^2S+x)+x\Big).$$

У Надежды всё то же, но пополнение только один раз в начале 3-го года на $2x$: $$N=1{,}12\cdot1{,}1(1{,}1^2S+2x).$$

Шаг 2. Находим разность капиталов. Почему считаем именно разность $N-M$ — по условию нужно, чтобы у Надежды стало больше на целое число десятков рублей.

$$N-M=1{,}12\Big[1{,}1(1{,}1^2S+2x)-1{,}1(1{,}1^2S+x)-x\Big].$$

Раскрываем скобки: слагаемые с $S$ взаимно уничтожаются (обе суммы одинаковы по $S$), остаётся только часть с $x$: $$N-M=1{,}12\big(2{,}2x-1{,}1x-x\big)=1{,}12\cdot0{,}1x=0{,}112x.$$

Это и есть разница итоговых сумм — она зависит только от $x$, не от $S$, что логично: банк применяет одинаковые проценты к обоим вкладам, различие возникает только из-за разных сумм пополнения.

Шаг 3. Условие «целое число десятков рублей». По условию $N-M=10n$, где $n\in\mathbb{N}$. Тогда: $$0{,}112x=10n \;\Rightarrow\; x=\frac{10n\cdot 1000}{112}=\frac{5\cdot125\,n}{7}=\frac{625n}{7}.$$

Шаг 4. Находим наименьшее натуральное $x$. Чтобы $x$ было целым, нужно, чтобы $n$ делилось на 7 (так как $625$ и $7$ взаимно просты). Наименьшее такое $n=7$, тогда: $$x=\frac{625\cdot7}{7}=625.$$

Это и есть наименьшее натуральное значение $x$, удовлетворяющее условию.