Задание 16 ЕГЭ, математика (профиль): Вклады

Пусть первоначальный взнос по обоим вкладам равен $S$.

Вклад «А» каждый год увеличивается на 10%, значит сумма умножается на коэффициент $1,1$. За три года она станет равна $1,1^3 S = 1,331S$.

Вклад «Б» в первый год растёт на 5%, то есть умножается на $1,05$, а во второй и третий годы — на $n$ процентов, то есть на коэффициент $\left(1+\dfrac{n}{100}\right)$ каждый раз. Значит через три года сумма на вкладе «Б» равна: $$1,05\left(1+\dfrac{n}{100}\right)^2 S.$$

По условию вклад «Б» должен быть выгоднее вклада «А», то есть итоговая сумма по «Б» больше, чем по «А»: $$1,05\left(1+\dfrac{n}{100}\right)^2 S > 1,331S.$$

Сокращаем на $S>0$ (сумма положительна) и делим обе части на 1,05: $$\left(1+\dfrac{n}{100}\right)^2 > \dfrac{1,331}{1,05} = 1,267619...$$

Теперь подбираем наименьшее натуральное $n$, при котором это неравенство выполняется, проверяя целые значения.

При $n=12$: $\left(1,12\right)^2 = 1,2544 < 1,2676$ — неравенство не выполняется.

При $n=13$: $\left(1,13\right)^2 = 1,2769 > 1,2676$ — неравенство выполняется.

Поскольку функция $\left(1+\dfrac{n}{100}\right)^2$ возрастает с ростом $n$, при всех $n<13$ неравенство тоже не выполняется. Значит наименьшее подходящее значение — $n=13$.