Задание 16 ЕГЭ, математика (профиль): Вклады

Пусть каждый месяц вклад умножается на один и тот же коэффициент $K=1+\dfrac{k}{100}$, где $k$ — месячный процент. Такое ежемесячное умножение за 12 месяцев должно дать общий рост на 21%, значит: $$10000\cdot K^{12}=10000\cdot\left(1+\frac{21}{100}\right)=10000\cdot1,21.$$ Отсюда $K^{12}=1,21$ — это ключевое соотношение, связывающее месячный и годовой рост.

Нужно найти наименьшее целое $n$, при котором сумма впервые превысит 11000 руб., то есть $$10000\cdot K^{n}>11000 \;\Longleftrightarrow\; K^{n}>1,1.$$

Заметим, что $1,1=\sqrt{1,21}=\sqrt{K^{12}}=K^{6}$ (так как $K>1>0$, корень берём положительный). Тогда неравенство переписывается как $$K^{n}>K^{6}.$$ Поскольку $K>1$, функция $K^{x}$ строго возрастает, поэтому это неравенство равносильно $n>6$.

Наименьшее целое число, удовлетворяющее $n>6$, — это $n=7$.

Таким образом, через 7 месяцев сумма вклада впервые превысит 11000 рублей.