Задание 16 ЕГЭ, математика (профиль): Вклады

Шаг 1. Записываем рост вклада Игната. Каждые 3 месяца сумма увеличивается на $0{,}25r\%$, а за год таких начислений четыре. Введём коэффициент $k=1+\dfrac{0{,}25r}{100}$. Тогда через год у Игната на счёте будет $400000\cdot k^4$ рублей — это стандартная формула сложных процентов, применённая последовательно 4 раза.

Шаг 2. Считаем сумму Андрея. У него один раз в конце года начисляется 20%, значит итог: $410700\cdot1{,}2$ рублей.

Шаг 3. Составляем неравенство. По условию сумма Игната больше суммы Андрея: $$400000\cdot k^4 > 410700\cdot 1{,}2.$$ Сокращая на 100, получаем $4000\cdot k^4>4928{,}4$, то есть $k^4>1{,}2321$. Заметив, что $1{,}2321=1{,}11^2$, переходим к $k^2>1{,}11$ (обе части положительны, извлечение квадратного корня законно).

Шаг 4. Возвращаемся к $r$. Подставляем $k=1+\dfrac{0{,}25r}{100}=\dfrac{400+r}{400}$. Получаем $$\left(\frac{400+r}{400}\right)^2>1{,}11 \;\Longleftrightarrow\; (400+r)^2>444\cdot400=177600.$$

Шаг 5. Находим наименьшее целое $r$. Функция $y(r)=(400+r)^2$ монотонно возрастает при $r\ge0$, поэтому проверяем целые значения: $y(21)=421^2=177241<177600$ — не подходит; $y(22)=422^2=178084>177600$ — подходит. Значит, неравенство выполняется при всех $r\ge22$, и наименьшее целое значение — $22$.