Задание 16 ЕГЭ, математика (профиль): Вклады

Шаг 1. Считаем вклад Семёна. Банк один раз за год увеличивает сумму на 21%, значит через год у Семёна будет $$1\,000\,000\cdot 1{,}21=1\,210\,000\text{ руб.}$$

Шаг 2. Считаем вклад Мони. Его ставка $r\%$ годовых, но начисление происходит 4 раза в год (каждые 3 месяца) по $r/4\%$ за раз. Обозначим коэффициент одного начисления $k=1+\dfrac{r}{400}$ (100% плюс $r/4\%$, переведённые в доли). За год начислений будет 4, и каждое умножает текущую сумму на $k$, поэтому итоговая сумма — это исходная сумма, умноженная на $k^4$: $$1\,000\,000\cdot k^4.$$ Это стандартное свойство сложных процентов — при многократном начислении множители перемножаются.

Шаг 3. Составляем неравенство. По условию Моня получит меньше Семёна: $$1\,000\,000\cdot k^4<1\,210\,000\ \Leftrightarrow\ k^4<1{,}21.$$ Так как $k>0$, извлекаем корень квадратный дважды (функция $t\mapsto t^2$ монотонна на положительных числах): $$k^2<1{,}1\ \Leftrightarrow\ k<\sqrt{1{,}1}=\sqrt{\dfrac{11}{10}}.$$

Шаг 4. Возвращаемся к r. Подставляем $k=1+\dfrac{r}{400}$: $$1+\dfrac{r}{400}<\sqrt{\dfrac{11}{10}}\ \Leftrightarrow\ 400+r<400\sqrt{\dfrac{11}{10}}\ \Leftrightarrow\ (400+r)^2<176\,000.$$ Последний переход — возведение в квадрат обеих положительных частей неравенства (функция $x^2$ возрастает при $x>0$).

Шаг 5. Подбираем наибольшее целое r. Проверяем: $$(400+19)^2=419^2=175\,561<176\,000\ \text{— подходит},$$ $$(400+20)^2=420^2=176\,400>176\,000\ \text{— не подходит}.$$

Поэтому наибольшее целое значение $r$, при котором Моня получит меньше Семёна, равно $19$.