Задание 16 ЕГЭ, математика (профиль): Вклады

Пусть каждый вложил $S$ руб.

Вклад Саши. Деньги лежат 4 года под 10% годовых (сложные проценты, ставка не меняется), поэтому итоговая сумма растёт по формуле $S(1+\frac{10}{100})^4$: $$S\cdot 1{,}1^4=1{,}4641S.$$

Вклад Паши. Первые 2 года — под 15%: $$S\cdot1{,}15^2=1{,}3225S.$$ Затем эта сумма ещё 2 года лежит под новой ставкой $p\%$, поэтому она умножается на $(1+\frac{p}{100})^2$: $$1{,}3225S\left(1+\frac{p}{100}\right)^2.$$

Условие задачи. У Паши сумма больше, но разница меньше 10% от $S$: $$1{,}3225S\left(1+\frac{p}{100}\right)^2-1{,}4641S<0{,}1S.$$

Делим на $S>0$ (сумма положительная) и переносим слагаемые: $$1{,}3225\left(1+\frac{p}{100}\right)^2<1{,}5641.$$

Отсюда $$\left(1+\frac{p}{100}\right)^2<\frac{1{,}5641}{1{,}3225}=\frac{15641}{13225}\approx1{,}1827.$$

Извлекаем корень (обе части положительны, направление неравенства сохраняется): $$1+\frac{p}{100}<\sqrt{1{,}1827}\approx1{,}0875.$$

Тогда $$\frac{p}{100}<0{,}0875\;\Rightarrow\; p<8{,}75.$$

По смыслу задачи $p$ — процентная ставка, значит $p>0$, и требуется наибольшее целое значение, удовлетворяющее $p<8{,}75$. Таким числом является $p=8$.