Задание 16 ЕГЭ, математика (профиль): Вклады

Пусть в Сбербанк вложена сумма $K$, а годовая ставка Сбербанка равна $r\%$, то есть в виде доли — $0{,}01r$.

1. За первый год вклад в Сбербанке вырастает по формуле простых процентов: $K(1+0{,}01r)$. Это стандартная формула роста вклада на $r\%$ годовых.

2. Через год вкладчик берёт половину этой суммы: $\dfrac{K}{2}(1+0{,}01r)$ и кладёт её в коммерческий банк, ставка которого в 32 раза выше, то есть равна $32r\%$, или $0{,}32r$ в долях.

3. Через ещё один год сумма в коммерческом банке становится $$\dfrac{K}{2}(1+0{,}01r)(1+0{,}32r).$$

4. По условию, эта сумма превысила именно ту сумму, которая была вложена в коммерческий банк (то есть $\dfrac{K}{2}(1+0{,}01r)$), на 4%. Это значит, что рост произошёл только за счёт ставки коммерческого банка $0{,}32r$ — фактически это и есть годовое приращение в 4%.

5. Составляем уравнение: приращение равно 4% от исходной суммы вклада в коммерческом банке: $$\dfrac{K}{2}(1+0{,}01r)\cdot 0{,}32r = 0{,}04\cdot \dfrac{K}{2}(1+0{,}01r).$$

6. Общий множитель $\dfrac{K}{2}(1+0{,}01r)$ сокращается (он не равен нулю), остаётся простое уравнение: $$0{,}32r = 0{,}04.$$

7. Отсюда $r = \dfrac{0{,}04}{0{,}32} = \dfrac{1}{8} = 0{,}125$.

Таким образом, годовая ставка Сбербанка составляет $0{,}125$ (то есть 12,5%).