Задание 16 ЕГЭ, математика (профиль): Вклады

Пусть общая сумма разбивается как $5x$ (это $5/6$) и $x$ (это $1/6$). Обозначим коэффициент роста вклада в банке А через $y$, в банке Б — через $t$ (например, если ставка 10%, то коэффициент 1,1).

По условию первого варианта вложений: $$5xy+xt=670\ (1)$$ $$5xy^2+xt^2=749\ (2)$$

Если поменять банки местами (те же доли, но А получает $x$, Б получает $5x$): $$xy+5xt=710\ (3)$$

Нужно найти сумму через два года в этом варианте — это $xy^2+5xt^2$.

Находим $xy$ и $xt$. Умножим (1) на 5 и вычтем (3): $$25xy+5xt-(xy+5xt)=3350-710$$ $$24xy=2640\Rightarrow xy=110$$ Подставим в (3): $5xt=710-110=600\Rightarrow xt=120$.

Находим связь $y$ и $t$. Так как $xy=110$, $xt=120$, при делении $x$ сокращается: $$\frac{y}{t}=\frac{xy}{xt}=\frac{110}{120}=\frac{11}{12}\Rightarrow y=\frac{11t}{12}$$

Подставляем в (2), чтобы найти $xt^2$: $$5x\cdot\frac{121t^2}{144}+xt^2=749$$ Умножим всё на 144: $$605xt^2+144xt^2=749\cdot144$$ $$749xt^2=749\cdot144\Rightarrow xt^2=144$$

Находим $xy^2$ из уравнения (2): $$5xy^2=749-xt^2=749-144=605\Rightarrow xy^2=121$$

Считаем искомую сумму: $$xy^2+5xt^2=121+5\cdot144=121+720=841$$

Таким образом, при перестановке вкладов сумма после второго года составит 841 у.е.