ГлавнаяЕГЭ Математика (профиль)Задание 16Вклады

Задание 16 ЕГЭ, математика (профиль): Вклады

ЕГЭ Математика (профиль)Задание 16Задачи о вкладах

Известно, что вклад, находящийся в банке с начала года, возрастает к концу года на определенный процент, свой для каждого банка. В начале года Степан положил 60% некоторой суммы денег в первый банк, а оставшуюся часть суммы во второй банк. К концу года сумма этих вкладов стала равна 590 000 руб., а к концу следующего года 701 000 руб. Если бы Степан первоначально положил 60% своей суммы во второй банк, а оставшуюся часть в первый, то по истечении одного года сумма вкладов стала бы равной 610 000 руб. Какова была бы сумма вкладов в этом случае к концу второго года?

В подтеме 53 задач
Разбор
Главная идея: Ввести неизвестные — общий капитал и коэффициенты роста в каждом банке, составить систему уравнений для сумм после первого года по двум распределениям вклада, найти отношение коэффициентов, затем использовать данные о сумме через два года, чтобы найти конкретные значения роста и капитала, и вычислить искомую сумму по формуле сложных процентов.

Пусть общая сумма Степана — xx тыс. руб., а коэффициенты годового роста вкладов в банках — m=1+0,01am=1+0{,}01a и n=1+0,01bn=1+0{,}01b (проценты по каждому банку постоянны).

  1. По первому варианту вложений (60%60\% в банк 1, 40%40\% в банк 2) через год сумма равна 0,6xm+0,4xn=5900{,}6xm+0{,}4xn=590. По второму варианту (40%40\% и 60%60\%) — 0,4xm+0,6xn=6100{,}4xm+0{,}6xn=610. Обозначив A=xm,  B=xnA=xm,\;B=xn, решаем линейную систему 0,6A+0,4B=590, 0,4A+0,6B=6100{,}6A+0{,}4B=590,\ 0{,}4A+0{,}6B=610 — получаем A=xm=550,  B=xn=650A=xm=550,\;B=xn=650, значит mn=1113\dfrac{m}{n}=\dfrac{11}{13}, т.е. m=1113nm=\dfrac{11}{13}n.

  2. Через два года по первому варианту сумма равна 0,6xm2+0,4xn2=(0,6xm)m+(0,4xn)n=330m+260n0{,}6xm^2+0{,}4xn^2=(0{,}6xm)m+(0{,}4xn)n=330m+260n. Подставив m=1113nm=\dfrac{11}{13}n, получаем 701013n=701\dfrac{7010}{13}n=701, откуда n=1,3n=1{,}3, тогда m=1,1m=1{,}1. Из xn=650xn=650 находим x=500x=500.

  3. Требуемая сумма — сумма к концу второго года при обратном распределении (40% в банк 1, 60% в банк 2): 0,4xm2+0,6xn2=0,4⋅500⋅1,12+0,6⋅500⋅1,32=242+507=7490{,}4xm^2+0{,}6xn^2=0{,}4\cdot500\cdot1{,}1^2+0{,}6\cdot500\cdot1{,}3^2=242+507=749 (тыс. руб.), то есть 749 000 руб.

Типичные ошибки

  • Путают проценты роста с процентами прироста (забывают добавить 1 к 0,01a0{,}01a).
  • Не выражают произведения xmxm и xnxn как новые переменные, что усложняет решение системы.
  • Ошибаются при возведении в квадрат коэффициентов роста, забывая, что 0,6xm20{,}6xm^2 нужно выразить через уже найденное xmxm.
Непонятно?

Похожие задачи