Задание 16 ЕГЭ, математика (профиль): Вклады

Пусть общая сумма равна $5S$, а коэффициенты годового роста вкладов — $k_1=1+\dfrac{r}{100}$ и $k_2=1+\dfrac{q}{100}$ (во сколько раз вклад увеличивается за год). Это удобно, так как доли сумм — $4/5$ и $1/5$ от $5S$, то есть $4S$ и $S$.

Через год. По первому варианту вложений: $4S\,k_1+S\,k_2=212000$, откуда $4k_1+k_2=\dfrac{212000}{S}$.

По второму варианту (доли поменяны местами): $4S\,k_2+S\,k_1=218000$, откуда $\dfrac{k_1}{4}+k_2=\dfrac{54500}{S}$ (уравнение поделено на 4 и приведено к сравнимому виду).

Решая эту систему относительно $k_1,k_2$ (выражая одно через другое и подставляя), получаем $k_1=\dfrac{42000}{S}$, $k_2=\dfrac{44000}{S}$ — коэффициенты выражены через неизвестное $S$.

Через два года. За два года сумма вклада умножается на $k^2$ (сложные проценты), поэтому по первому варианту: $4S k_1^2+S k_2^2=224800$. Подставив выражения для $k_1,k_2$, получаем уравнение только с $S$: $$\frac{7\,056\,000\,000}{S}+\frac{1\,936\,000\,000}{S}=224800\ \Rightarrow\ S=40000.$$

Тогда $k_1=\dfrac{42000}{40000}=\dfrac{21}{20}$, $k_2=\dfrac{44000}{40000}=\dfrac{11}{10}$ — это реальные коэффициенты роста, теперь известны их числовые значения.

Ответ на вопрос задачи. Нужно найти сумму через 2 года при обратном распределении долей: $4/5$ суммы — на «Южный» ($k_2$), $1/5$ — на «Райский» ($k_1$). Через два года это: $$4S k_2^2+S k_1^2=4\cdot40000\cdot\left(\frac{11}{10}\right)^2+40000\cdot\left(\frac{21}{20}\right)^2=237700.$$