Задание 16 ЕГЭ, математика (профиль): Вклады

Пусть начальная сумма каждого вклада равна $S$.

Для вклада «Удачный» каждый год сумма умножается на $1{,}05$, поэтому через 3 года будет $1{,}05^3 S$.

Для вклада «Прибыльный» в первый год начисляется 2%, а начиная со второго — $p\%$. Значит через год сумма равна $1{,}02S$, через два года — $1{,}02\left(1+\dfrac{p}{100}\right)S$, через три года — $1{,}02\left(1+\dfrac{p}{100}\right)^2 S$.

По условию нужно, чтобы «Прибыльный» вклад через 3 года был больше: $$1{,}05^3 S<1{,}02\left(1+\frac{p}{100}\right)^2 S.$$

Сокращаем на $S>0$ и умножаем обе части на $100^3$, чтобы избавиться от дробей: $$105^3<102\,(100+p)^2.$$

Это неравенство равносильно исходному, так как обе части умножались на положительные числа.

Вычислим $105^3=1\,157\,625$.

Так как чем больше $p$, тем больше правая часть, ищем наименьшее целое $p$, при котором неравенство выполняется. Заметим, что при $p\le 5$ неравенство заведомо не выполняется (ставка не выше, чем у «Удачного»), поэтому проверяем $p>5$.

При $p=6$: $102\cdot106^2=102\cdot11236=1\,146\,072<1\,157\,625$ — неравенство неверно.

При $p=7$: $102\cdot107^2=102\cdot11449=1\,167\,798>1\,157\,625$ — неравенство выполняется.

Значит, наименьшее целое $p$, при котором «Прибыльный» вклад выгоднее, равно 7.