Задание 16 ЕГЭ, математика (профиль): Вклады

Пусть первоначальный вклад в обоих банках равен $S$ у.е.

Первый банк. Ставка 10% каждый год, проценты капитализируются, поэтому за 3 года сумма вырастет по формуле сложных процентов: $S\cdot1{,}1^3$.

Второй банк. Первые два года ставка 11%, значит после двух лет сумма равна $S\cdot1{,}11^2$. На третий год ставка меняется на $P\%$, поэтому сумма после третьего года: $S\cdot1{,}11^2\cdot(1+0{,}01P)$.

Доход — это разница между итоговой суммой и вкладом $S$. По условию доход во втором банке больше, чем в первом: $$S\cdot1{,}11^2(1+0{,}01P)-S> S\cdot1{,}1^3-S.$$ Вычитая $S$ из обеих частей (оно есть в обеих сторонах), неравенство упрощается до сравнения множителей роста: $$1{,}11^2(1+0{,}01P) > 1{,}1^3.$$ Отсюда $$1+0{,}01P > \dfrac{1{,}1^3}{1{,}11^2}=\dfrac{1{,}331}{1{,}2321}=\dfrac{13310}{12321}=1\dfrac{989}{12321}.$$ Значит $$0{,}01P>\dfrac{989}{12321}\ \Rightarrow\ P>\dfrac{98900}{12321}=8\dfrac{332}{12321}\approx8{,}027.$$

Поскольку $P$ — целое число, наименьшее подходящее значение — то, которое строго больше $8{,}027$, то есть $P=9$.