Задание 16 ЕГЭ, математика (профиль): Вклады

Пусть каждый месяц сумма вклада увеличивается в одно и то же число раз — обозначим коэффициент месячного роста $K = 1 + \dfrac{k}{100}$, где $k$ — процент прироста за один месяц (он пока неизвестен, но нам важен именно множитель $K$, а не сам $k$).

Поскольку проценты начисляются ежемесячно и капитализируются (то есть каждый раз проценты начисляются на уже увеличенную сумму), через $n$ месяцев вклад равен исходной сумме, умноженной на $K^n$. Это стандартная формула сложных процентов: $S_n = S_0\cdot K^n$.

Через 6 месяцев сумма составила 10500 руб., значит: $$10000\cdot K^6 = 10500 \;\Rightarrow\; K^6 = \dfrac{10500}{10000}=1{,}05.$$

Через 12 месяцев (то есть за весь год) вклад должен вырасти ровно на $a\%$, то есть: $$10000\cdot K^{12} = 10000\left(1+\dfrac{a}{100}\right).$$

Заметим, что $K^{12} = (K^6)^2$, поэтому подставляем найденное значение $K^6=1{,}05$: $$K^{12} = 1{,}05^2 = 1{,}1025.$$

Отсюда: $$1+\dfrac{a}{100} = 1{,}1025 \;\Rightarrow\; \dfrac{a}{100} = 0{,}1025 \;\Rightarrow\; a = 10{,}25.$$

Таким образом, годовая ставка с учётом ежемесячной капитализации составляет $a=10{,}25\%$.