Задание 16 ЕГЭ, математика (профиль): Вклады

Пусть $S$ — сумма вклада в 2026 году, $x=312500$ — сумма, снимаемая каждый год.

Каждый год 30 июня банк увеличивает остаток на 25%, то есть умножает его на 1,25, а затем 1 июля Петр снимает $x$ рублей. Поэтому остаток на счёте после каждой операции находится по формуле: новый остаток $=1,25\cdot(\text{старый остаток})-x$.

После первого начисления и снятия (1 июля 2027): $1,25S-x$.

После второго цикла (1 июля 2028): $1,25(1,25S-x)-x$.

После третьего цикла (1 июля 2029): $1,25\big(1,25(1,25S-x)-x\big)-x$.

По условию к 1 июля 2029 года счёт обнуляется, значит это выражение равно нулю: $$1,25\big(1,25(1,25S-x)-x\big)-x=0.$$

Раскрываем скобки шаг за шагом (используем, что $1,25\cdot1,25=1,5625$, а $1,25\cdot1,25\cdot1,25=1,953125$): $$1,25(1,5625S-2,25x)-x=0,$$ $$1,953125S-3,8125x=0.$$

Подставляем $x=312500$: $$S=\dfrac{3,8125\cdot312500}{1,953125}=3,8125\cdot160000=610000.$$

Значит, Петр должен положить 610 000 рублей.