Задание 16 ЕГЭ, математика (профиль): Вклады

Пусть прошло $n$ лет после 1 сентября 2008 года — момента открытия первого счёта.

Первый счёт. Каждый год добавляется 1000 руб., а вся сумма на счёте увеличивается на 20%, то есть умножается на 1,2. Поэтому вклад, сделанный $k$ лет назад, к моменту $n$ вырос до $1000\cdot1{,}2^{\,n-k}$. Всего с учётом первого взноса (в момент 0) и последующих до момента $n$ получаем геометрическую прогрессию из $n+1$ членов с первым членом 1000 и знаменателем 1,2: $$S_1=1000\left(1+1{,}2+1{,}2^2+\dots+1{,}2^{n}\right)=1000\cdot\frac{1{,}2^{n+1}-1}{1{,}2-1}=5000\left(1{,}2^{n+1}-1\right).$$

Второй счёт. Он открыт на 6 лет позже, то есть в момент $n=6$. К моменту $n$ (при $n\ge6$) сделано $n-6+1=n-5$ взносов по 2200 руб. с ростом 44% ежегодно (множитель 1,44). Аналогично получаем геометрическую прогрессию: $$S_2=2200\left(1+1{,}44+\dots+1{,}44^{\,n-6}\right)=2200\cdot\frac{1{,}44^{\,n-5}-1}{1{,}44-1}=5000\left(1{,}44^{\,n-5}-1\right).$$

Приравниваем суммы, так как ищем момент, когда счета совпадают: $$5000\left(1{,}2^{n+1}-1\right)=5000\left(1{,}44^{\,n-5}-1\right)\;\Longleftrightarrow\;1{,}2^{n+1}=1{,}44^{\,n-5}.$$

Заметим, что $1{,}44=1{,}2^2$, поэтому правую часть можно переписать как $1{,}2^{2(n-5)}$. Получаем равенство степеней с одинаковым основанием $1,2>1$, значит равны и показатели: $$n+1=2(n-5)\;\Longrightarrow\;n+1=2n-10\;\Longrightarrow\;n=11.$$

Значит, суммы сравняются через 11 лет после открытия первого счёта, то есть в $2008+11=2019$ году.