ГлавнаяЕГЭ Математика (профиль)Задание 16Вклады

Задание 16 ЕГЭ, математика (профиль): Вклады

ЕГЭ Математика (профиль)Задание 16Задачи о вкладах

По бизнес-плану предполагается изначально вложить в четырёхлетний проект 10 млн рублей. По итогам каждого года планируется прирост вложенных средств на 15% по сравнению с началом года. Начисленные проценты остаются вложенными в проект. Кроме этого, сразу после начислений процентов нужны дополнительные вложения: по целому числу n млн рублей в первый и второй годы, а также по целому числу m млн рублей в третий и четвёртый годы.

Найдите наименьшие значения n и m, при которых первоначальные вложения за два года как минимум удвоятся, а за четыре года как минимум утроятся.

В подтеме 53 задач
Разбор
Главная идея: Последовательно моделировать рост вложений по формуле Sk+1=1,15 Sk+(доп. вложение)S_{k+1}=1{,}15\,S_k+(\text{доп. вложение}) и находить наименьшее целое значение добавки, при котором выполняется требуемое неравенство (удвоение за 2 года, утроение за 4 года).

  1. Обозначим сумму вложений в начале года. Каждый год деньги растут на 15%, то есть умножаются на 1,151{,}15, а сразу после начисления процентов добавляются дополнительные вложения.

  2. Начало 1-го года: 1010 млн. К началу 2-го года сумма увеличилась на 15% и добавилось nn: 10⋅1,15+n=11,5+n.10\cdot1{,}15+n=11{,}5+n.

  3. К началу 3-го года снова рост на 15% и добавление nn: 1,15(11,5+n)+n=13,225+2,15n.1{,}15(11{,}5+n)+n=13{,}225+2{,}15n. По условию за два года сумма должна как минимум удвоиться, то есть достичь 2020 млн: 13,225+2,15n≥20.13{,}225+2{,}15n\ge20. Отсюда n≥6,7752,15≈3,15n\ge\dfrac{6{,}775}{2{,}15}\approx3{,}15, значит наименьшее целое n=4n=4.

  4. Подставляя n=4n=4, находим сумму к началу 3-го года: 13,225+2,15⋅4=21,825 млн.13{,}225+2{,}15\cdot4=21{,}825\text{ млн}.

  5. Дальше на третий и четвёртый год добавляются вложения mm. К началу 4-го года: 1,15⋅21,825+m.1{,}15\cdot21{,}825+m. К концу проекта (после начисления процентов 4-го года и добавления mm): 1,15(1,15⋅21,825+m)+m=21,825⋅1,3225+2,15m=28,8635625+2,15m.1{,}15\big(1{,}15\cdot21{,}825+m\big)+m=21{,}825\cdot1{,}3225+2{,}15m=28{,}8635625+2{,}15m.

  6. По условию сумма должна утроиться за 4 года, то есть достичь 3030 млн: 28,8635625+2,15m≥30.28{,}8635625+2{,}15m\ge30. Отсюда m≥1,13643752,15≈0,529m\ge\dfrac{1{,}1364375}{2{,}15}\approx0{,}529, значит наименьшее целое m=1m=1.

Таким образом, минимальные значения — n=4n=4, m=1m=1.

Типичные ошибки

  • Не учитывают, что дополнительное вложение добавляется после начисления процентов, а не до.
  • Округляют значение n или m в неверную сторону (берут наибольшее целое вместо наименьшего, удовлетворяющего неравенству).
  • Ошибаются в подсчёте степени 1,15 при вычислении суммы за несколько лет, что приводит к неверному коэффициенту при m или n.
Непонятно?

Похожие задачи