ГлавнаяЕГЭ Математика (профиль)Задание 16Вклады

Задание 16 ЕГЭ, математика (профиль): Вклады

ЕГЭ Математика (профиль)Задание 16Задачи о вкладах

По бизнес-плану четырёхлетний проект предполагает начальное вложение  — 12 млн рублей. По итогам каждого года планируется прирост вложенных средств на 10% по сравнению с началом года. Начисленные проценты планируется оставлять вложенными в проект. Кроме этого, сразу после начислений процентов потребуются дополнительные вложения: целое число n млн рублей в первый и во второй годы, а также целое число m млн рублей в третий и в четвёртый годы. Найдите наименьшее значение n, при котором первоначальные вложения за два года как минимум удвоятся, и наименьшее такое значение m, что при найденном ранее значении n первоначальные вложения за четыре года как минимум утроятся.

В подтеме 53 задач
Разбор
Главная идея: Последовательно применяем формулу «умножить на 1,1 и добавить взнос» для каждого года, получая линейное неравенство относительно n (после 2 лет) и относительно m (после 4 лет), из которого находим наименьшее целое решение.

Шаг 1. Как растут вложения. Каждый год сумма увеличивается на 10%, то есть умножается на 1,1, а сразу после начисления процентов добавляется очередной взнос. Поэтому расчёт идёт по схеме: «умножили на 1,1 — прибавили взнос».

Шаг 2. Первые два года. После 1-го года: 12⋅1,1+n=13,2+n12\cdot1{,}1+n=13{,}2+n — это сумма к началу 2-го года. После 2-го года: (13,2+n)⋅1,1+n=14,52+2,1n(13{,}2+n)\cdot1{,}1+n=14{,}52+2{,}1n — сумма к началу 3-го года (т.е. через 2 года).

Шаг 3. Условие удвоения. Нужно, чтобы эта сумма была не меньше 2⋅12=242\cdot12=24: 14,52+2,1n≥24  ⇒  n≥9,482,1=41835≈4,51.14{,}52+2{,}1n\ge24 \;\Rightarrow\; n\ge\frac{9{,}48}{2{,}1}=4\frac{18}{35}\approx4{,}51. Так как n — целое, наименьшее подходящее значение n=5n=5.

Шаг 4. Считаем сумму к началу 3-го года с этим n. 14,52+2,1⋅5=25,0214{,}52+2{,}1\cdot5=25{,}02 млн.

Шаг 5. Годы 3 и 4 с взносом m. После 3-го года: 25,02⋅1,1+m25{,}02\cdot1{,}1+m. После 4-го года (конец проекта): (25,02⋅1,1+m)⋅1,1+m=30,2742+2,1m.(25{,}02\cdot1{,}1+m)\cdot1{,}1+m=30{,}2742+2{,}1m.

Шаг 6. Условие утроения. Требуется 30,2742+2,1m≥3⋅12=3630{,}2742+2{,}1m\ge3\cdot12=36: m≥5,72582,1=225433500≈2,73.m\ge\frac{5{,}7258}{2{,}1}=2\frac{2543}{3500}\approx2{,}73. Наименьшее целое m=3m=3.

Таким образом n=5n=5, m=3m=3.

Типичные ошибки

  • Забывают, что взнос добавляется после начисления процентов, а не до, и переставляют порядок операций.
  • Округляют неравенство в неверную сторону (берут ближайшее целое вместо наименьшего целого, удовлетворяющего условию ≥).
  • Ошибаются в промежуточных вычислениях суммы к началу 3-го года при переходе к расчёту m, используя старое значение без учёта найденного n.
Непонятно?

Похожие задачи