ГлавнаяЕГЭ Математика (профиль)Задание 16Вклады

Задание 16 ЕГЭ, математика (профиль): Вклады

ЕГЭ Математика (профиль)Задание 16Задачи о вкладах

По бизнес-плану предполагается вложить в четырёхлетний проект целое число миллионов рублей. По итогам каждого года планируется прирост средств вкладчика на 20% по сравнению с началом года. Начисленные проценты остаются вложенными в проект. Кроме этого, сразу после начислений процентов нужны дополнительные вложения: по 20 миллионов рублей в первый и второй годы, а также по 10 миллионов в третий и четвёртый годы. Найдите наименьший размер первоначальных вложений, при котором общая сумма средств вкладчика за два года станет больше 125 миллионов, а за четыре года станет больше 200 миллионов рублей.

В подтеме 53 задач
Разбор
Главная идея: Последовательно выразить сумму на счёте после каждого года через рекуррентную формулу «умножить на 1,2 и добавить взнос», получить два неравенства для двух периодов и найти наименьшее целое S, удовлетворяющее более строгому из них.

Обозначим начальный вклад через SS (млн руб.). Каждый год сумма увеличивается на 20%, то есть умножается на 1,21{,}2, а затем добавляется взнос.

К началу 2‑го года (после первого начисления и добавления 20 млн): 1,2S+20.1{,}2S+20.

К началу 3‑го года (после второго начисления и добавления 20 млн): 1,2(1,2S+20)+20=1,44S+44.1{,}2(1{,}2S+20)+20=1{,}44S+44.

По условию сумма за два года должна превышать 125 млн: 1,44S+44>125  ⇒  S>811,44=56,25.1{,}44S+44>125 \;\Rightarrow\; S>\frac{81}{1{,}44}=56{,}25.

К началу 4‑го года (третье начисление, добавка 10 млн): 1,2(1,44S+44)+10=1,728S+62,8.1{,}2(1{,}44S+44)+10=1{,}728S+62{,}8.

К концу 4‑го года (четвёртое начисление, добавка 10 млн): 1,2(1,728S+62,8)+10=2,0736S+85,36.1{,}2(1{,}728S+62{,}8)+10=2{,}0736S+85{,}36.

По условию за четыре года сумма должна превышать 200 млн: 2,0736S+85,36>200  ⇒  S>114,642,0736≈55,29.2{,}0736S+85{,}36>200 \;\Rightarrow\; S>\frac{114{,}64}{2{,}0736}\approx55{,}29.

Таким образом, оба неравенства требуют, чтобы SS было больше приблизительно 56,2556{,}25 (это более жёсткое ограничение, так как оно больше второго). Поскольку SS — целое число миллионов, наименьшее подходящее значение — S=57S=57. Проверка показывает, что при S=57S=57 оба условия (по двум и по четырём годам) выполняются.

Типичные ошибки

  • Забывают, что проценты начисляются на всю сумму, включая ранее сделанные добавочные взносы, и получают неверную рекуррентную формулу.
  • Путают порядок операций — сначала начисление процентов, потом добавление взноса, а не наоборот.
  • Проверяют только одно из двух условий (за 2 года или за 4 года), не сравнивая, какое из них даёт более строгое ограничение на S.
Непонятно?

Похожие задачи